Akademia Ekonomiczna w Katowicach

Wydział Zarządzania

Metoda Czekanowskiego

Taksonomia wrocławska (metoda dendrytowa)

Gr. 8

Natalia Kallus

Karina Żmudzińska

Adrian Żuk

Katowice, listopad 2007

Metoda Czekanowskiego

Metoda Czekanowskiego jest metodą taksonomiczną, wykorzystywaną do porządkowania i grupowania

w możliwie najbardziej jednorodne zespoły obiektów opisanych wartościami kilku cech, których nie da się zsumować, a które łącznie wskazują na pewne właściwości tych obiektów. Przy jej użyciu analizuje się struktury gospodarcze w przekroju przestrzennym i czasowym.

Procedura tworzenia diagramu jest następująca:

• Sformułowanie problemu badawczego, dobór metody badań taksonomicznych i dobór cech obiektów badanych.

• Budowa macierzy odległości obiektów. Przyporządkowanie różnic do jednego z czterech przedziałów

a) obliczenie średniej arytmetycznej wartości różnic;

b) wyodrębnienie przedziałów:

I - obiekty bardzo podobne (od zera do połowy wartości średniej),

II - obiekty podobne (od połowy wartości średniej do tej średniej),

III - obiekty mało podobne (od średniej do 1,5 wartości średniej),

IV - obiekty niepodobne (powyżej 1,5 wartości średniej).

3. Budowa nieuporządkowanego diagramu Czekanowskiego

. 4. Uporządkowanie diagramu.

5. Sporządzenie kartogramu (rejony zawarte, rejony rozproszone).

6. Sformułowanie wniosków.

W naszym przykładzie będziemy badać i porównywać wybrane kraje pod względem stopnia eksploatacji infrastruktury drogowej. Wnioski wyciągniemy na podstawie danych o gęstości sieci dróg oraz wielkości przewozów pasażerskich (przy uwzględnieniu długości dróg i liczby mieszkańców dla każdego z krajów).

Zgromadzone dane przedstawiamy w tablicy:

Nr	Kraje	Gęstość sieci dróg kołowych (Polska=100) (1994r.)	Wielkość przewozów pasażerskich w pkm (Polska=100) (1994r.)
1.	Austria	168,6	409
2.	Dania	219,8	628
3.	Finlandia	33,3	521
4.	Francja	89,8	18
5.	Hiszpania	43,1	110
6.	Holandia	222,7	303
7.	Niemcy	235,0	36
8.	Szwecja	45,0	234
9.	Włochy	134,7	62
10.	Polska	100	100
średnia		139,2	242

Budujemy symetryczną macierz odległości pomiędzy badanymi obiektami, czyli macierz wyrażonego liczbowo stopnia podobieństwa dla poszczególnych par obiektów.

gdzie:

n - liczba jednostek,

m - liczba zmiennych.

Najczęściej elementami macierzy są względne różnice przeciętne obliczane wg wzoru:

j=n

R_1.2 = Σ = │ (a_1j-a_2j):M_aj│,

j=1

gdzie:

a_1j - wartość cechy j z zespołu cech obiektu 1

M_aj - średnia wartość cechy j badanej zbiorowości

np.: R_1.2 = R_1.1 = │(168,6-219,8):139,2│+ │(409-628):242│ = 1,27

R_2.3 = R_3.2 = │(219,8-33,3):139,2│+ │(628-521):242│ = 1,78

R_1.3 = R_3.1 = │(168,6-33,3):139,2│+ │(409-521):242│ = 1,43

R_4.9 = R_9.4 = │(189,8-134,7):139,2│+ │(18-62):242│ = 0,58.

Nr	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,00	1,27	1,43	1,77	2,14	0,83	2,02	1,61	1,68	1,77
2	1,27	0,00	1,78	2,73	3,41	1,36	2,55	2,88	2,95	3,04
3	1,43	1,78	0,00	3,20	1,77	2,26	3,45	1,27	2,62	2,22
4	1,77	2,73	3,20	0,00	1,43	1,41	0,40	1,93	0,58	0,98
5	2,14	3,41	1,77	1,43	0,00	2,09	1,68	0,53	0,86	0,45
6	0,83	1,36	2,26	1,41	2,09	0,00	1,19	1,56	1,63	1,72
7	2,02	2,55	3,45	0,40	1,68	1,19	0,00	2,18	0,83	1,23
8	1,61	2,88	1,27	1,93	0,53	1,56	2,18	0,00	1,35	0,95
9	1,68	2,95	2,62	0,58	0,86	1,63	0,83	1,35	0,00	0,41
10	1,77	3,04	2,22	0,98	0,45	1,72	1,23	0,95	0,41	0,00

Średnia arytmetyczna z (niezerowych) elementów tablicy wynosi 1,72.

Ustalamy przedziały:

I- obiekty bardzo podobne - (0; 0,86)

II- obiekty podobne - (0,87; 1,72)

III- obiekty mało podobne - (1,73; 2,58)

IV- obiekty niepodobne - pow. 2,58.

Kwalifikujemy odległości do poszczególnych przedziałów, które oznaczamy umownymi symbolami, zastępujemy nimi liczby.

Nr	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Bardzo podobne

Podobne

Mało podobne

Niepodobne

Porządkujemy diagram poprzez takie przestawienia wierszy i odpowiadających im kolumn, by symbole par obiektów podobnych (o najmniejszej odległości) znajdowały się najbliżej przekątnej diagramu. Czyli dobieramy kraje w grupy tak, by „każdy do każdego” był w poszczególnych grupach podobny. Uporządkowany diagram pozwoli wyodrębnić obiekty o podobnej strukturze.

Zaznaczone kwadratami obszary obrazują grupy obiektów podobnych, w naszym przypadku krajów.

Wynik zadania wskazuje na istnienie 4 grup krajów bardzo podobnych pod względem eksploatacji infrastruktury drogowej:

- Francja, Niemcy, Włochy,

- Włochy, Polska, Hiszpania,

- Hiszpania, Szwecja,

- Holandia, Austria

oraz krajów wyraźnie różniących się pod tym względem od reszty zbiorowości: Danii i Finlandii.

Taksonomia wrocławska (metoda dendrytowa)

Do podziału zbioru obiektów, np. jednostek administracyjnych, na jednorodne podzbiory (rejony) można zastosować metodę taksonomii wrocławskiej, czyli dendryt. Metoda ta, podobnie jak diagram Czekanowskiego, jest pomocna przy klasyfikacji przestrzennej i ma tę zaletę, że pozwala na liniowe i nieliniowe uporządkowanie obiektów. Dzięki niej otrzymujemy pełniejszą charakterystykę badanej rzeczywistości, lecz stwarza ona również określone trudności interpretacyjne.

Istotą taksonomii wrocławskiej jest płaszczyznowe odwzorowanie punktów przestrzeni wielowymiarowej w taki sposób, aby suma odległości między rzutami tych punktów była jak najmniejsza. Obrazem takiego odwzorowania jest graf spójny, nie zamknięty, który otrzymuje się, szukając na podstawie macierzy odległości, zbudowanej według jednej ze znanych metod, pary obiektów (np. województw, krajów) najbardziej do siebie podobnych, a następnie dołączając do nich kolejne, najbardziej podobne obiekty aż do wyczerpania wszystkich rozpatrywanych jednostek. Tak powstaje dendryt. Jest on linią łamaną, która może się rozgałęziać, lecz nie może zawierać łamanych zamkniętych, a każde dwa punkty zbioru obiektów są przez nią połączone. Porządkowanie badanych obiektów wg metody dendrytowej można przedstawić graficznie za pomocą kółek (z wpisanymi w nie symbolami obiektów) połączonych odcinkami. Punkty (kółka z symbolami) obrazujące obiekty są nazywane wierzchołkami dendrytu, a odcinki - wiązadłami (łukami).

Liniowe uporządkowanie jednostek oznaczonych symbolami A, B, C, D, E i F pokazano na rys. 1.

Połączenia dendrytowe mogą też występować jako połączenia kilku jednostek z jedną jednostką lub wszystkich jednostek z jedną jednostką. Jest to wtedy połączenie nieliniowe (rys.2.)

Powiązania jednostek mogą przybierać różne formy w związku z czym pojawia się problem wyboru najlepszego rozwiązania. Należy więc znaleźć taki dendryt, który zapewni najmniej różniące się wartości zmiennych sąsiadujących ze sobą jednostek.

• Rys.1. Dendryt o liniowym połączeniu jednostek.

Rys.2.Dendryty o nieliniowych połączeniach jednostek.

Optymalny dendryt - o najmniejszej sumie odległości - gwarantuje, że sąsiadujące ze sobą obiekty są najmniej zróżnicowane.

Miarą uporządkowania zbioru za pomocą dendrytu jest jego długość. Długością dendrytu nazywamy sumę długości wszystkich jego odcinków. Z kilku uporządkowań dendrytowych lepsze będzie to, którego długość jest najmniejsza.

Etapy procesu badawczego metody dendrytowej

1. Wybieramy problem wymagający uporządkowania, postępując zgodnie z zasadami obowiązującymi przy wyznaczaniu pola badawczego.

(Postępowanie badawcze metody dendrytowej przedstawimy na przykładzie danych o rozwoju motoryzacji w wybranych krajach europejskich. )

2. Sporządzenie macierzy odległości. W naszym przykładzie będzie to tablica wielkości różnic względnych cech poziomu motoryzacji w wybranych krajach Europy. Macierz tą tworzymy analogicznie jak w metodzie Czekanowskiego.

		Czechy	Francja	Holandia	Portugalia	Polska	Szwecja	Węgry	Włochy
		1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.
Czechy	1.	0	4,0	2,5	0,6	1,2	2,8	0,9	1,9
Francja	2.	4,0	0	3,7	3,9	4,2	0,9	3,5	3,7
Holandia	3.	2,5	3,7	0	3,1	3,8	2,8	3,6	0,8
Portugalia	4.	0,6	3,9	3,1	0	1,1	2,6	1,0	2,3
Polska	5.	1,2	4,2	3,8	1,1	0	2,9	0,5	3,0
Szwecja	6.	2,8	0,9	2,8	2,6	2,9	0	2,2	2,3
Węgry	7.	0,9	3,5	3,6	1,0	0,5	2,2	0	2,7
Włochy	8.	1,9	3,7	0,8	2,3	3,0	2,3	2,7	0

3. Wybór jednostek o zbliżonych wartościach cech. Wyszukiwanie tych jednostek polega na wyborze najmniejszych liczb z każdej kolumny (lub wiersza) macierzy. Skreślamy podwójne pary.

W ten sposób powstaje dendrytowe zestawienie jednostek najbliższych. W naszym przykładzie wybieramy kraj z numerem 1 (Czechy) i w wierszu pierwszym szukamy najmniejszej wartości różnic względnych. Tą wartością jest 0,6, czyli krajem najbardziej podobnym jest Portugalia (4). Rysujemy więc połączenie krajów o symbolach 1 i 4, przyjmując że jeden punkt wartości różnic względnych = 1cm.

6 5

9 9

8 5

6 8

• Rys.3. Zestawienie jednostek najbliższych na podstawie wielkości różnic względnych wybranych cech poziomu motoryzacji w Europie.

Z rys. 3. wynika, że kilka połączeń powtarza się dwukrotnie, np. 2-6 i 6-2, gdyż okazało się, że Francja jest najbliższa Szwecji w dziedzinie wybranych cech motoryzacyjnych, a Szwecja jest też najbardziej podobna pod tym względem do Francji. W dalszym postępowaniu jedno z podwójnych połączeń jest zawsze eliminowane.

4. Przystępujemy do poszukiwania skupień I rzędu. Polega to na połączeniu za sobą jednostek na podstawie najmniejszych odległości między nimi.

Zdarza się bowiem, że kilka obiektów jest bardzo podobnych do jednego obiektu już w trakcie pierwszych porównań. Tak się nie stało w naszym przykładzie i skupienia I rzędu pokazano na rys. 4.

6 8

9 5

Rys.4. Skupienia I rzędu.

5. Dalsze próby przybliżenia skupień (skupienia II rzędu) - sprawdzanie spójności grafu.

Skupienie II

	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.
1.	0	4,0	2,5	0,6	1,2	2,8	0,9	1,9
2.	4,0	0	3,7	3,9	4,2	0,9	3,5	3,7
3.	2,5	3,7	0	3,1	3,8	2,8	3,6	0,8
4.	0,6	3,9	3,1	0	1,1	2,6	1,0	2,3
5.	1,2	4,2	3,8	1,1	0	2,9	0,5	3,0
6.	2,8	0,9	2,8	2,6	2,9	0	2,2	2,3
7.	0,9	3,5	3,6	1,0	0,5	2,2	0	2,7
8.	1,9	3,7	0,8	2,3	3,0	2,3	2,7	0

1	2	4		4	2	3,9		2	1	4		6	1	2,8
1	3	2,5		4	3	3,1		2	3	3,7		6	3	2,8
1	5	1,2		4	5	1,1		2	4	3,9		6	4	2,6
1	6	2,8		4	6	2,6		2	5	4,2		6	5	2,9
1	7	0,9		4	7	1		2	7	3,5		6	7	2,2
1	8	1,9		4	8	2,3		2	8	3,7		6	8	2,3
3	1	2,5		8	1	1,9		5	1	1,2		7	1	0,9
3	2	3,7		8	2	3,7		5	2	4,2		7	2	3,5
3	4	3,1		8	4	2,3		5	3	3,8		7	3	3,6
3	5	3,8		8	5	3		5	4	1,1		7	4	1
3	6	2,8		8	6	2,3		5	6	2,9		7	6	2,2
3	7	3,6		8	7	2,7		5	8	3		7	8	2,7

W tym celu wybieramy najmniejszą odległość między jednostkami skupień pierwszego rzędu, a następnie łączymy je w zespoły. Szukamy więc najbliższej odległości obiektu pierwszego (Czech) do jednego z obiektów trzech pozostałych skupień. Znajdujemy taką najmniejszą odległość między pierwszym obiektem (Czechy) a obiektem siódmym (Węgry). Ta najmniejsza odległość nie powtarza się już w relacjach między pozostałymi państwami, w skutek czego powstaje następujący obraz skupień (rys.5.)

6 9 5

9 8

Rys.5. Skupienia II rzędu.

6. Kolejne przybliżenia skupień (skupienia III rzędu) - sprawdzanie spójności grafu.

Skupienie III

	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.
1.	0	4,0	2,5	0,6	1,2	2,8	0,9	1,9
2.	4,0	0	3,7	3,9	4,2	0,9	3,5	3,7
3.	2,5	3,7	0	3,1	3,8	2,8	3,6	0,8
4.	0,6	3,9	3,1	0	1,1	2,6	1,0	2,3
5.	1,2	4,2	3,8	1,1	0	2,9	0,5	3,0
6.	2,8	0,9	2,8	2,6	2,9	0	2,2	2,3
7.	0,9	3,5	3,6	1,0	0,5	2,2	0	2,7
8.	1,9	3,7	0,8	2,3	3,0	2,3	2,7	0

1	2	4		4	2	3,9		5	2	4,2		7	2	3,5
1	3	2,5		4	3	3,1		5	3	3,8		7	3	3,6
1	6	2,8		4	6	2,6		5	6	2,9		7	6	2,2
1	8	1,9		4	8	2,3		5	8	3		7	8	2,7

Naszym celem, wobec braku powiązań między trzema skupieniami, jest znalezienie najmniejszej odległości między pierwszym a dalszymi skupieniami. Między pierwszym obiektem pierwszego skupienia (Czechy) a obiektem ósmym (Włochy) w skupieniu trzecim występuje najmniejsza różnica, która znów nie powtarza się więcej między skupieniami innych obiektów. Mamy więc dwa skupienia (rys.6.)

6 9 5

19

8

9

Rys.6. Skupienia III rzędu.

7. Kolejne przybliżenia skupień (skupienia IV rzędu) - sprawdzanie spójności grafu - dendryt skończony.

	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.
1.	0	4,0	2,5	0,6	1,2	2,8	0,9	1,9
2.	4,0	0	3,7	3,9	4,2	0,9	3,5	3,7
3.	2,5	3,7	0	3,1	3,8	2,8	3,6	0,8
4.	0,6	3,9	3,1	0	1,1	2,6	1,0	2,3
5.	1,2	4,2	3,8	1,1	0	2,9	0,5	3,0
6.	2,8	0,9	2,8	2,6	2,9	0	2,2	2,3
7.	0,9	3,5	3,6	1,0	0,5	2,2	0	2,7
8.	1,9	3,7	0,8	2,3	3,0	2,3	2,7	0

2	1	4		6	1	2,8
2	3	3,7		6	3	2,8
2	4	3,9		6	4	2,6
2	5	4,2		6	5	2,9
2	7	3,5		6	7	2,2
2	8	3,7		6	8	2,3

Ponieważ pozostały tylko dwa skupienia, ostatnią czynnością konstrukcji dendrytu będzie znalezienie najmniejszej różnicy odległości spośród różnic każdej jednostki jednego skupienia z jednostkami drugiego skupienia i połączenie obu skupień w całość. Najmniejsza różnica występuje między obiektem 6 (Szwecja) a obiektem 7 (Węgry). Będzie to właśnie odległość najkrótsza; jest to ostatnie połączenie kończące procedurę budowy dendrytu (rys.7.)






9




22







6 9 5









19




8





Rys.7. Dendryt skończony wybranych krajów europejskich, wykreślony na podstawie tablicy.

Graf jest spójny i na tym kończymy procedurę, pozostaje wiec interpretacja wyniku.W tym przypadku chodzi o ustalenie miejsca Polski (5) na europejskiej mapie motoryzacyjnej. Podobieństwo naszego kraju do innych krajów Europy wskazuje na zbieżność rozwoju popytu na środki motoryzacji.

Kierunek rozgałęzień w dendrycie może być różny i uzyskany kształt nie ma znaczenia. O podziale na skupiska w ramach dendrytu decydują odległości między obiektami.

Za pomocą dendrytu wyodrębniliśmy więc trzy grupy krajów podobnych z punktu widzenia rozwoju motoryzacji.

Metoda dendrytowa ta ma przewagę nad diagramem Czekanowskiego ze względu na właściwe dendrytowi łączenie obiektów o wyłącznie najmniejszych odległościach.

Zaletą diagramu Czekanowskiego jest zaś ujawnienie związków o różnej sile, czego nie zapewnia dendryt.

Warto znać zalety i wady obu metod i stosować je tak, aby wykorzystać ich zalety.

• Zadanie przykładowe

Dokonać klasyfikacji wybranych województw ze względu na aktywność kulturalną mieszkańców na podstawie trzech cech. Zbudować dendryt. Dane potrzebne do analizy zawiera tablica 1.1.

Tablica 1.1. Wybrane wskaźniki aktywności kulturalnej ludności w ośmiu województwach w 2001r.

Nr	Województwa	Liczba widzów w kinach na 1000 ludności	Liczba wypożyczeń księgozbioru na zewnątrz w bibliotekach publicznych na 1 czytelnika	Liczba widzów i słuchaczy w teatrach i instytucjach muzycznych na 1 przedstawienie
1 2 3 4 5 6 7 8	Dolnośląskie Łódzkie Małopolskie Mazowieckie Podlaskie Śląskie Świętokrzyskie Warmińsko-mazurskie	669 641 736 1489 450 615 375 399	21,2 19,0 19,2 18,6 19,6 20,7 18,6 18,0	161 146 172 285 166 257 177 174
Średnia		671,75	19,36	192,25

Tablica 1.2. Wielkości różnic względnych dla trzech cech określających stopień aktywności kulturalnej mieszkańców wybranych województw

Nr	1	2	3	4	5	6	7	8
1 2 3 4 5 6 7 8	0,00 0,23 0,26 2,00 0,43 0,61 0,66 0,63	0,23 0,00 0,29 2,01 0,42 0,70 0,58 0,56	0,26 0,29 0,00 1,74 0,48 0,70 0,59 0,57	2,00 2,01 1,74 0,00 2,22 1,56 2,22 2,23	0,43 0,42 0,48 2,22 0,00 0,78 0,22 0,20	0,61 0,70 0,70 1,56 0,78 0,00 0,88 0,89	0,66 0,58 0,59 2,22 0,22 0,88 0,00 0,08	0,63 0,56 0,57 2,23 0,20 0,89 0,08 0,00

Z przedstawionych wielkości wybieramy pary o najmniejszej wartości różnicy:

1 - 2 (0,23)

2 - 1 (0,23)

3 - 1 (0,26)

4 - 6 (1,56)

5 - 8 (0,20)

6 - 1 (0,61)

7 - 8 (0,08)

8 - 7 (0,08)

















0,26 0,23 0,20 0,08

0,61

1,56

Nr	5	7	8
1 2 3 4 6	0,43 0,42 0,48 2,22 0,78	0,66 0,58 0,59 2,22 0,88	0,63 0,56 0,57 2,23 0,89


Rys. Dendryt województw zbudowany na podstawie aktywności kulturalnej mieszkańców.


















0,26 0,23 0,42 0,20 0,08

0,61

1,56




- numer województwa

0,26 - odległość


- skupienia I rzędu


- skupienia II rzędu

Interpretacja:

Wyodrębnione zostały dwa skupiska województw podobnych do siebie: 1) podlaskie, świętokrzyskie i warmińsko-mazurskie oraz 2) dolnośląskie, łódzkie i małopolskie. Wyraźnie zarysowała się odrębność województw śląskiego i mazowieckiego.

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

1

3

4

8

1

2

5

6

7

3

4

8

1

2

5

6

7

3

4

8

1

2

5

6

7

3

4

8

1

2

5

6

7

A

B

E

D

C

F

A

B

D

F

C

E

A

B

E

D

C

F

Nr	4	7	9	10	5	8	6	1	2	3
4
7
9
10
5
8
6
1
2
3

x11	x12	x13	...	x1m
x21	x22	x23	...	x2m
x31	x32	x33	...	x3m
...	...	...	...	...
xn1	xn2	xn3	...	xnm

• X=

3

1

4

2

6

5

8

7

3

1

4

2

6

5

8

7

3

1

---