Definicja

Superpozycją (złożeniem) odwzorowanie f:X→Y i g:Y→Z nazywamy takie odwzorowanie g°f:X→Z , które spełmia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)]

Definicja

Odwzorowanie f:X→Y nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taka funkcja g:Y→X, Ze spełnione są warunki: f°g=idy ∧ g°f=idx (id
X→X:id(x)=x).

Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania f oznaczamy f

∀x∈X f
[f(x)]=x i ∀y∈Y f
[f(y)]=y .Odwzorowanie f jest odwracalne ⇔ gdy jest bijekcją.

Definicja

Jeżeli spełniony jest warunek ∃e∈A ∀a∈A e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę - półgrupą unitarną.

Definicja

Półgrupę unitarną komutatywną, w której każdy element ma element symetryczny, tzn. ∀A ∃a'∈A a#a'=a'#a=e nazywamy grupą abelową.

Definicja

Trójką (A,#,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki:

1.para (A,#)- jest grupą abelową

2.para (A,°)- jest półgrupą

3. działanie „°” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. ∀a,b,c∈A (a#b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem.

Definicja ciała

Pierścień całkowity, w którym każdy element niezerowy ma element symetryczny (względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami albo skalarami.

Definicja przestrzeni liniowej (wektorowej)

Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K×V→V odwzorowaniem, które parze elementów (α,V)∈ K×V będziemy oznaczać S(α,V)=αV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki:

1.∀α∈K ∀a,b,c∈V α(a+b)=αa+αb

2.∀α,β∈K ∀a∈V (α+β)a=αa+βa

3.∀α,β∈K ∀a∈V (αβ)a=α(βa)

4.∀a∈V 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a odwzorowanie S, mnożeniem skalarów przez wektory.

Definicja

Kombinacją liniową n wektorów a
,a
,...,a
z przestrzeni wektorowej [∈V(K)] o współczynnikach
nazywamy element przestrzeni V postaci

.

Definicja

Wektory a
,a
,...,a
∈V(K) są liniowo zależne ⇔ gdy przynajmniej jeden z nich da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych.

Dowód:

Wektory a
,a
,...,a
są liniowo zależne ⇒
ale istnieje α
≠0 ⇒
=
⇒
⇐wynika, że jeden z wektorów da się przedstawić jako kombinacja pozostałych.⇐
⇒
. Kombinacja jest nietrywialna ponieważ β
=-1≠0, czyli wektory są liniowo zależne.

Definicja

Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e
są liniowo niezależne, przy czym każdy wektor V da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy symbolem dimV. ∀∋a=
- rozkład wektora w bazie {e
}

Liczby zespolone

Twierdzenie 1

Jeżeli liczby zespolone z i z' są różne od zera, a ϕ
i ϕ
są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma ϕ
+ϕ
jest argumentem iloczynu zz' zaś różnica ϕ
-ϕ
jest argumentem ilorazu

Twierdzenie 2 (wzory Moivre'a)

Jeżeli liczba zespolona z jest różna od zera, a ϕ jest jej dowolnym argumentem, to liczba rzeczywista nϕ , gdzie n∈N , jest argumentem liczby z
.

(cosϕ+isinϕ)
=cosnϕ+isinnϕ

z
=|z|
( cosnϕ+isinnϕ)

Twierdzenie

Jeżeli z≠0 i z=|z|(cosϕ+isinϕ), to
jest zbiorem n-elementowej postaci:

=
; k=0,1,2,...,n-1

Twierdzenie Bezouta

Jeżeli z
jest miejscem zerowym wielomianu p, to wielomian ten jest podzielny przez dwumian z- z
i odwrotnie, czyli p(z)=0 ⇔ (z- z
)|p(z).

Twierdzenie d'Alamberta

Każdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n≥1 ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wielomiany w liczbie zespolonej

Twierdzenie

Jeżeli liczba zespolona z
jest pierwiastkiem wielomianu p o wspólczynnikach rzeczywistych, to również pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba sprężona
.

Funkcje wymierne

Twierdzenie

Każdą funkcję wymierną właściwą
można przedstawić w postaci sumy pewnej liczby ułamków prostych, przy czym:

1.Każdemu czynnikowi postaci (x- x
)
w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki :
; gdzie α
...α
∈R

2.Każdemu czynnikowi postaci (x
+bx+c)
w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki:
gdzie
b,c∈R oraz b
-4c<0

Macierze i wyznaczniki

Definicja macierzy

Macierzą wymiaru m×n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}×{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}×{1,2,...,n}→a
∈K

Definicja

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
nazywamy wartość odwzorowania det:
zbioru macierzy stopnia n, które spełnia warunki :

1.jednorodność
∀λ∈K det(a
,...,λa
,...,a
)=λ(a
,...,a
,...a
)

2.addytywność
det
=det
+det

3.
det
=-det

4.detE=det
=1 E- macierz jednostkowa

Własności:

1.detA=detA
wszystkie własności sformułowane dla kolumn są prawdziwe dla wierszy.

2.det(0
)=0 z własności 1.

3.Pomnożyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnożyć 1 kolumnę macierzy przez tę liczbę.

4.Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.

5.Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.

det
=-det
detA=0

6.Macierz o kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0 det
=det
= det
+(-1)det
=0

7.Jeżeli w macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn, to wyznacznik macierzy równa się zero det
= =det
+det
+...+det
=0

8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.

9.Wyznacznik macierzy jest równy 0⇔, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zależne.

10.(twierdzenie Cauchy'ego)-Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy. det(A*B)=(detA)*(detB)

jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)

Definicja minora

Minorem M
elementu a
macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

Definicja

Dopełnieniem algebraicznym A
elementu a
macierzy A nazywamy liczbę określoną wzorem A
:=(-1)
M

Definicja

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyznacznik jest różny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobliwą.

Definicja

Jeżeli macierze A,B∈
oraz AB=BA=E to macierz B nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy ją symbolem A
.

Twierdzenie

Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ gdy jest macierzą nieosobliwą.

Dowód: ⇒istnieje A
⇒AA
=A
A=E⇒(twierdzenie Cauchy'ego) det (AA
)=detE=1 (detA)(detA
)=1⇒detA≠0⇒A jest nieosobliwa

⇐ A jest nieosobliwa ⇒ detA≠0⇒można zdefiniować B=
A
AB=A=
A
=
AA
. Wniosek 3 z tw Laplace'a mówi, że
AA
=
(detA)*E=E BA=
A
A=
(detA)*E=E

Macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Definicja

Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie f:U→V spełniające warunki:

1.∀a,b∈U f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania

2.∀λ∈K ∀a∈U :f(λa)=λf(a) - jednorodność odwzorowania - nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V

1. i 2.)⇔ ∀λ
   ,λ
   ∈K ∀a,b∈U f(λ
   a+λ
   b)=λ
   f(a)+λ
   f(b)

Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V.

Twierdzenie Cramera.

Jeżeli macierz podstawowa A układu n równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu równań dane wzorami:
;i=1,...,n lub x=A
b

Dowód:detA
=det(a
,...,a
,b,a
,...,a
)=det(a
,...,a
,x
a
+x
a
+...+x
a
,a
,...,a
)= x
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
)+x
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
)+..+ x
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
)+ x
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
)

detA
=x
detA⇒ x
=
bo detA≠0

Wniosek:

Jednorodny układ Cramerowski ma tylko rozwiązanie zerowe.

Definicja rzędu macierzy.

Rzędem niezerowej macierzyA=( a
,a
,...,a
) nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn tych macierzy.

Uwaga 1: Rzędem macierzy A nazywamy największy stopień jej minora różnego od 0.

Uwaga 2: DimL=( a
,a
,...,a
)=r(A)

Własności rzędu macierzy:

1.r(A)=0⇔ A=0

2.r(A)=r(A
)

3.r(A)≤min(m,n) jeśli A∈

4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej macierzy operacji, które nie zmienią wartości wyznacznika. W szczególności rząd macierzy nie zmieni się jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonalnych usuniemy jedną.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

Ukłąd równań liniowych Ax=B posiada co najmniej jedno rozwiązanie ⇔r(A)=r(A
)

Dowód:

Układ (
) jest rozwiązaniem ⇔
⇔ b∈( a
,a
,...,a
) ⇔L(a
,a
,...,a
)=L(a
,a
,...,a
,b)⇔dim(a
...a
)=dim(a
...a
,b) ⇔r(A)=r(A
)

Podsumowanie:

1.r(A)=r(A
)=n-ilość niewiadomych-jedno rozwiązanie

2. r(A)=r(A
)=k<n-nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-k parametrów.

3. r(A)≠r(A
)-układ sprzeczny-brak rozwiązań

Przestrzeń metryczna i unormowana

Definicja:

Odwzorowanie d:A
→R , gdzie A≠0 spełniające warunki :

1.∀a,b∈A d(a,b)=0⇔ a=b

2.∀a,b∈A d(a,b)=d(b,a) - symetria

3.∀a,b∈A d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)-nierówność trójkątna - nazywamy metryką w zbiorze A. Wartość tego odwzorowania na parze elementów (a,b)nazywamy odległością elementów a i b.

∀a,b∈A d(a,b)≥0

d(a,b)=
[ d(a,b)+d(b,a)]≥
d(a,a)=0

Definicja

Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:

∀a,b∈A d(f(a),f(b))=d(a,b) nazywamy izometrią.

Definicja

Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:

∃λ∈(0,1) ∀a,b∈A d(f(a),f(b))≤λd(a,b) nazywamy przekształceniem zwężającym lub kontrakcją.

Przestrzeń unormowana

Niech V (przestrzeń liniowa) nad ciałem R. Funkcjonał (odwzorowanie) ||•||:V→R spełniająca warunki:

1.∀v∈V ||v||=0 ⇔ v=0

2.∀λ∈R ∀v∈V ||λv||=|λ|*||v||

3.∀v
,v
∈V ||v
+v
||≤||v
||+||v
|| nazywamy normą w przestrzeni V, a przestrzeń liniową z określoną normą nazywamy przestrzenią unormowaną.

Definicja iloczynu skalarnego

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R, odwzorowanie g: V
→R spełniające warunki:

1.∀x,y,z∈V g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z) g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z)

2.∀x,y,z∈V ∀λ∈R g(λx,y)=g(x,λy)=λg(x,y) - odwzorowanie jest liniowe

3.∀(x,y)∈V g(x,y)=g(y,x)

4.∀x≠0 g(x,x)>0 nazywamy mnożeniem skalarnym w przestrzeni V, a wartość tego odwzorowania na wektorach (
) nazywamy iloczynem skalarnym tych wektorów x°y=|
| |
| cosϕ . Przestrzeń liniowa, w której wprowadzono iloczyn skalarny nosi nazwę przestrzeni unitarnej.

Własności iloczynu skalarnego:

1.∀x,y∈V |x+y|≤|x|+|y| - nierówność Minkowskiego

2.∀x,y∈V |x*y|≤|x|*|y| - nierówność Coshy-Buniakowskiego.

Dowód:

λ∈R (λx+y)(λx+y)=λ
x
+2λxy+y
≥0 dla każdego x

Δ≤0 Δ=(2x°y)
-4x
y
=4((x°y)
- x
y
)≤0

(x°y)
≤ x
y
|x°y|≤|x| |y|

3.
4.
, α∈R 5.

Definicja iloczynu wektorowego

Mnożeniem wektorowym w R
nazywamy odwzorowanie f:R
×R
→R
spełniające warunki:

1.∀a,b∈R
a×b=-b×a

2.∀a,b,c∈R
a×(b+c)=a×b+a×c (a+b)×c=a×c+b×c

3.∀λR∈ ∀a,b∈R
(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

4.

Własności:

1.Jeśli wektory a,b są kolinearne to
∃λ∈R b=λa

ale z war.1.

2. Wektory a i b są ortogonalne do wektorów a×b

Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów a,b,c nazywamy liczbę określoną wzorem: abc=a°(b×c).

Własności:

1.

2.Trzy niezerowe wektory a,b,c są współpłaszczyznowe (komplementarne) jeśli abc=0

3. Jeśli a,b,c∈R
a,b,c=det(a,b,c)

4.det(a,b,c) jest równy objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach a,b,c

Definicja powierzchni stopnia II

Zbiór punktów (x,y,z)∈R
, których współrzędne spełniają zależność :

gdzie:

nazywamy powierzchnią stopnia II lub kwadrykiem.

---