Algebra

Iloczyn kartezjański zbiorów. Pojecie o zbiorach. Pojecie metryki. Działania na zbiorach.

{x,y} = {y,x} - zbiór dwuelementowy *x *y

{x,y} = {y,x} - para uporządkowana x,y Є X y * (x,y)

x

Pojecie iloczynu kartezjańskiego zbioru AЄX, BЄY

AxB = { (x,y); x Є A ^ y Є B }

Np1. AxB, BxA gdzie A ={1,2} B={3,4}

AxB= {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

BxA= {(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}

Np2. <-1,2>x<0,3> = {(x,y); x Є <-1,2>, y Є <0,3>}

RxR= R^2 - płaszczyzna kartezjańska R²={(x,y); x Є R, y Є R}

Trójka uporządkowana: (a,b,c):= ((a,b),c)

AxBxC= {(x,y,z); x Є A, y Є B, z Є C}

Entka uporządkowana: (x₁,x₂,x₃,......x_n-1, x_n)= ((x₁,x₂,x₃,......x_n-1), x_n) n≥3

X₁ x X₂ x X₃ x....x X_n-1 x X_n ={( x₁,x₂,x₃,......x_n-1, x_n); x_i ЄX i (i=1….n) }

RxRxR…. xR = Rⁿ , n≥1 <= enta potęga kartezjańska zbioru liczb rzeczywistych

R³={(x,y,z); x, y, z Є R} np.: <0,1>x<02>x<2,3>

Pojecie odwzorowania:

Niech x Є Ø i y Є Ø to odwzorowaniem f zbioru X w Y (f:X->Y) nazywamy takie przyporządkowanie, w którym dla każdego x Є X (x:= argument) odpowiada dokładnie (i tylko) jeden y Є Y (y:= wartość odwzorowania f dla argumentu x; (y=f(x)))

Każdemu elementowi ze zbioru X musi być przyporządkowany jeden element ze zbioru Y w przeciwnym razie nie jest to odwzorowanie. (np. Każdemu studentowi jest przyporządkowane jedno krzesło. - jest odwzorowaniem, Każdemu studentowi przyporządkowany jest zegarek. - nie jest odwzorowaniem, bo nie każdy ma zegarek)

f(x,y) = 4- x² - y² + ly₂ (x² + y² -1 )

f: R² ->R, jakie (x,y) -> z= f(x,y)

(x,y) Є D_f <-> { 4- x² - y² ≥0

{ x² + y² -1>0

(x,y) Є k(0,2)- k(0,1)<-> { x² + y² ≤4

{ x² + y² >1

Dziedziną naturalną odwzorowania określonego przepisem nazywamy zbiór X elementów, dla, których ten zbiór ma sens.

Odwzorowane w płaszczyznę przedziału f<0,2π>->o(0,R) <- R²

t -> ( Rcos(t), R sin(t) ) <=> { x= R cos(t)

{ y= R sin(t)

f: R³ -> R² , gdzie { x'= 2x-3y+z y: (x,y,z) ->(x',y')

{ y'= x+ y + z

A= {0,1}, to f: AxA ->A, gdzie f(x,y)= max {x,y} Є {0,1}

h(x,y)= min {x,y} Є {0,1}

Pojecie przestrzeni metrycznej:

Niech X Є Ø to (X,ς) jest przestrzenią metryczną o metryce (odległości na zb. X) wtedy i tylko wtedy, gdy ς: XxY-><0, +oo) jest odwzorowaniem kwadratu kartezjańskiego zb X w <0, +oo) spełniające warunki:

M1: ς(x,y)=0 <=>x=y

M2 :Dla każdego x,y Є X ς(x,y)= ς(y,x)

M3: Dla każdego x,y,z Є X ς(x,z) ≤ ς(x,y) + ς(y,z)

Odwzorowanie spełniające te warunki nazywamy metryką. Odwzorowaniem zbioru X.

ς(x,y)= │x-y│, x,y ЄR (ς :RxR -<0, +oo))

M1: ς(x,ς)=0 <=> │x-y│=0 <=> x=y

M2: ς(x,y)= │x-y│=│y-x│= ς(y-x) bo (│-a│=│a│)

M3: ς(x,z)≤ ς(x,y)+ ς(y,z), tj. │x-z│≤│x-y│+│y-z│ (Tak bo : │x-z│=│(x-y)+(y-z)│ lub │a+b│≤│a│+│b│)

Przestrzeń Euklidesowa:

X=R²

X₁=(x₁,y₁)

X₂=(x₂,y₂) ς (X₁, X₂)= (x₁- x₂)²+(y₁- y₂)²

(R², ς)

X=R² x ς : R² xR² -> <0, +oo)

X₁,X₂: X₁ =(x₁,y₁)

X₂ =( x₂,y₂)

ς (X₁, X₂)= │ x₁- x₂│+│ y₁- y₂│

Okręgiem o środku S ЄX, promieniu r>0 w przestrzeni metrycznej (x, ς) nazywamy zbiór postaci: o(S,r) = {x ЄX ; ς (x,ς)=r }

Niech: (R², ς_E) => o(0,r) = {(x,y): x²+y²=r²}

(R², ς₁) => o(0,r) = {(x,y): │x-0│+│y-0│=r}= {(x₁)=R²; │x│+│y│=r } r Є R₊

o(S₁,2), S₁=(2,3) to

(x,y) Є (S,2) <=> │x-2│+│y-3│=2 przesunięcie o wektor [2,3]

Intuicje podstawowych działań na zbiorach:

Dla każdego:	Suma w R	Iloczyn w R	Działanie „ٱ” AxA->A
x,y Є R	x+ y = y+ x	xy = yx	xٱy = yٱx
x,y,z Є R	(x+ y)+ z = y+ (x+ z)	(xy)z = y(xz)	(xٱy) ٱz = xٱ (yٱz)
x Є R	x+ 0 = 0+ x =x	x*1 = 1*x = x	xٱeٱ = eٱ ٱx = x
x Є R	-x Є R x+(-x)=(-x)+x=0	1/x Є R 1/x*x=x*1/x = 1	Element neutralny : eٱ
	-x - przeciwny do x	1/x odwrotny do x	x*ٱ ٱ x = xٱ x*ٱ = eٱ
	redukcja	skracanie	Element symetryczny: x*ٱ
	+: R x R= R	*: R x R= R
	x- y = x+ (-y)	x/y = x * 1/y

Uwaga: R₊ x R -> R gdzie a^b=a^b  x^y ≠ y^x (x^y)^z ≠ x^(y^z)

Odwzorowanie `Wereliego':

Def1. Niech x,y Є Rⁿ , to odwzorowanie „+” : Rⁿ x Rⁿ  = Rⁿ zwane sumą (wektorów) na Rⁿ

x + y = (x₁+y_1, x₂+y_2, x₃+y_3,........, x_n+y_n,)

x+y = y+x

x+0 = 0+x = x

(x+y)+z = x+(y+z)

x+(-x) = (-x)+x = 0 , gdzie (-x) = (-x₁, -x₂, -x₃, -x₄,…. ,-x_n )

Def2. Niech x Є Rⁿ α Є R, to odwzorowanie „*” : R x Rⁿ  = Rⁿ , gdzie

α *x = (α x_1, αx_2, α x_3,........, α x_n,)

1*x = x

α (x+y) = α x + αy

(α+β)x = αx + βx

x= (x₁, 0, 0 ….0) + (0, x₂, 0, 0 ….. 0)+ (0, 0, x₃, 0……0) +…..+(0, 0, 0, …..x_n) =>

e₁= (1,0,0…..0)
e₂= (0,1,0…..0)

=> e₃= (0,0,1…..0) x= x₁ e₁+x₂ e₂+…..x_n e_n = x_i e_i

… x ЄRⁿ

e_n= (0,0,0,.…n)

Def3. Iloczyn skalarny w przestrzeni Rⁿ Niech „○”: Rⁿ x Rⁿ  = R

x○y= x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ +.....+ x_ny_n = x_iy_i

x○x ≥ 0

x○y = y○x

(x○y)○z = x○ (y○z)

(αx)○y = α(x○y) [e_i ○ e_j = 0,i ≠ j / e_i ○ e_j =1, i=j]

a) x○x ≥0 => │x│= x○x

b) Niech x,y ЄRⁿ \ {0} , to

cos < {x,y} = (x○y)/ │x│* │y│ Є <-1,1>

c) Cos kierunkowym niezerowego wektora w Rⁿ , to

cos α_i = (x○e_i)/ (│x│* │e_i│) = x_i/ │x│ [e_i=1, x○e_i= e_i ○ x = x_i]

i =1…n

Tw. Cos² α_i = 1

Def4. Niech x Є Rⁿ i (x_1, x_2, x_3,........, x_k), gdzie x_i Є Rⁿ , i=1…k. Mówimy, że x jest kombinacją liniową ciągu tych wektorów gdy że x= α₁x₁+ α₂x₂+ α₃x₃+….+ α_kx_k = α_ix_i

Def5. Niech (x_1, x_2, x_3,........, x_k), gdzie x_i Є Rⁿ , i=1…n . Ciąg tych wektorów nazywamy liniowo niezależnymi wektorami gdy α₁x₁+ α₂x₂+ α₃x₃+….+ α_kx_k = 0 =>

α₁= α₂ =….=α_k = 0

Grupa, ciało:

Def. Niech G≠ Ø i ○: G x G -> G odwzorowanie, które spełnia warunki (aksjomaty):

(G1) Dla każdego x,y,zє G x○(y○z)=(x○y)○z

(G2) Dla każdego e_○єG Istnieje xєG x○e_○=e_○○x= x

(G2) Istnieje xєG Dla każdego x_○^*єG x○x_○^*=x_○^*○x= e_○

Wówczas (G,○) nazywamy strukturą grupy - jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek:

(G4) Dla każdego x,y,zє G x○y=y○x to grupę nazywamy przemienną - abelową

Przykłady:

Niech (G,○) - grupa, to:

a) Dla każdego xєG (x_○^*)^* = x

b) Dla każdego x,yєG (x○y)_○^* = y^*○ x^*

c) Dla każdego x,y,zєG x○y=x○z => y=z lewostronne prawo skreśleń

d) Dla każdego x,y,zєG x○y=z○y => x=z prawostronne prawo skreśleń

Uwaga!!! Dla działania „suma zbiorów” nie obowiązuje prawo skreśleń.

Homomorfizm, izomorfizm, automorfizm grup

Def. Niech struktury (G₁, ○₁), (G₂, ○₂) - grupy. Jeżeli istnieje odwzorowanie f: G₁->G₂ , dla którego :

Dla każdego x,y,zєG₁ f(x○₁y)= f(x) ○₂ f(y) to wówczas mówimy, że (G₁, ○₁), (G₂, ○₂) są homomorficzne np. a^x+y=a^xa^y

Def. Homomorfizm grup (G₁, ○), (G₂, □) różnowartościowy i tzn. „na” (f(G₁)=G₂) nazywamy izomorfizmem grup. np. log₂ (x₁x₂) = log₂ (x₁) +log₂ (x₂)

Pojecie struktury ciała:

Def. Niech C≠Ø oraz О: CxC->C, О: CxC->C, gdzie:

(C1) (C, О) -> grupa abelowa,

(C2) (C\{e_О},О) -> grupa abelowa

(C3) Dla każdego x,y,z єC xО(yОz)=xОy + xОz

Strukturę (C, О, О)spełniającą warunki (C1,C2,C3) nazywamy strukturę ciała przemiennego.

Def. Odwzorowanie f ciał (C₁, О₁, О₁) i (C₂, О₂, О₂) nazywamy homomorfizmem ciał

(fC₁->C₂) <=> gdy:

(H1) Dla każdego x,yєC₁ f(xО₁y) = f(x) О₂ f(y)

(H1) Dla każdego x,yєC₁ f(xО₁y) = f(x) О₂ f(y)

Uwaga!!!! Dla „О₁” i „О₂”

1. f(e_О1) = e_О2

2. f(x^*_О1) = [f(x)]^*_О2

podobnie dla iloczynu

Ciało liczb zespolonych:

Def. Ciałem liczb zespolonych nazywamy strukturę (R²,О,О), gdzie R² = Z

z₁ О z₂ = (x₁,y₁) О (x₂,y₂) = (x₁+x₂ , y₁+y₂)

z₁ О z₂ = (x₁,y₁) О (x₂,y₂) = (x₁x₂- y₁y₂ , x₁y₂+ x₂y₁)

Uwaga!! z=(x,y) tzw. postać kanoniczna liczby zespolonej

(C1) (R², О ) - grupa przemienna

e_○ = (0,0), z^* = -z = (-x,-y)

(C2) (R\{0,0}, О) - grupa abelowa

e_○ = (1,0), z^*_О = ( x/(x²+y²), -y/( x²+y²) ), z≠0 (x²+y²)>0

(C3) z₁О(z₂Оz₃) = (z₁Оz₂) О (z₁Оz₃)

Podstawowe informacje i odwzorowania na ciele liczb zespolonych.

○ (a,b) = Z
e_○ = (1,0)



○(-a,-b)

Niech z=(a,b) = (a,0) + (0,b) =(a,0)+(b,0)*(0,1) (0,b)=(b,0)*(0,1)

(0,1)*(1,0)=(0,1)² =(-1,0)

(0,1): i , gdzie i² = -1

Odwzorowania:

PA: (a,b) [єz] -> a+bi, gdzie i² = -1;

PA: (z,+,*) -> (R[i],+,*) dla R[i] - zbiór wszystkich argumentów o współczynniku rzeczywistym zmiennej „i”, dla której i² = -1

+: R[i] x R[i] -> R[i], gdzie (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

*: R[i] x R[i] -> R[i], gdzie (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Uwaga!!:

PA(a,b)=a+bi

1. PA[(a₁,b₁) + (a₂,b₂)] = PA(a₁,b₁) + PA(a₂,b₂)

2. PA[(a₁,b₁) * (a₂,b₂)] = PA(a₁,b₁) * PA(a₂,b₂)

3. PA jest izomorfizmem ciał (Z,+,*) i (R[i],+,*)

Różnica liczb zespolonych: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Iloraz liczb zespolonych: (a + bi) / (c + di) = (a + bi) * ([a/(a²+b²)] + [-b/(a²+b²)])i

Uwaga!!!

(a + bi) / (c + di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)] = [ac+bd+i(bc-ad)] / [c²+d²] = [ac+bd] / [c²+d²] + [(bc-ad) i ] / [c²+d²]

Automorfizm zbioru liczb zespolonych zwane liczbą sprzężoną: b ○ (a+bi)

Niech (R[i],+,*) = (z,+,*) to (*) : z -> Z jakie a+bi = a-bi є Z

a

z= (-a,-bi)○ ○ (a-bi)

np. i = -i 5 = 5 3-2i = 3+2i

Podstawowe własności:

(W1) z₁ + z₂ = z₁ + z₂

(W2) z_{1 *} z₂ = z_{1 *} z₂

(W3) z₁ / z₂ = z₁ / z₂ z₂ ≠ 0

(W4) Dla każdego zє R z = z , iz = -iz

Wniosek:

1. 1 / [a+bi] = [a/(a²+b²)] + [-b/(a²+b²)]i

2. (a+bi) / (c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [c² + d²]

Odwzorowanie zbioru liczb zespolonych w zbiór liczb rzeczywistych:

Re Z -> R gdzie Re(Z) = ( ½ , z ),

Jm Z -> R gdzie Jm(Z) = 1/2i ( z - z ), Jm

i z=a+bi

(W1) z =Re(z) + i Jm(z) │z│

(W2) Re(z₁ + z₂) = Re(z₁) + Re(z₂)

Re(z₁ - z₂) = Re(z₁) - Re(z₂) Re

Jm(z₁ + z₂) = Jm(z₁) + Jm(z₂) -i

Jm(z₁ - z₂) = Jm(z₁) - Jm(z₂)

Pojecie wartości bezwzględnej (modułu liczb zespolonych):

Odwzorowanie abs=│*│: Z -> <0,+oo), gdzie abs(z) = │z│= z - z

│z│= Re²(z) + Jm²(z)

(W1) Dla każdego z₁,z₂ є Z │z₁*z₂│ = │z₁│*│z₂│

(W2) Dla każdego z₁,z₂ є Z │z₁ / z₂│ = │z₁│/│z₂│

Odwzorowanie zbioru liczb zespolonych niezerowych na przedział <0,2π) zwane argumentem liczb zespolonych:

Tj: arg: Z\{0} -> <0,2π), gdzie arg(z)=φ <=> cos φ = Re(z) / │z│

sin φ = Jm(z) / │z│

φ = <0,2π) / (-π, π)

arg(i) = π /2 arg(-2) = π arg(-i) = (3 π) / 2

Zbiór wszystkich argumentów liczb zespolonych nazywamy argumentem:

Arg(z) = arg(z) + 2kπ [kєC] = Arg(1+i)= π/4 + 2k π

Postać trygonometryczna liczb zespolonych:

0≠│z│(Re(z) /│z│ + i Jm(z) / │z│) = │z│ (cos(arg(z)) + i sin(arg(z)))

Dla każdego z≠0 PT(z) = │z│ (cos(arg(z)) + i sin(arg(z)))

Izomorfizm

0≠Z -> (│z│,arg(z)) odwzorowanie zwane postacią trygonometryczną

Tw: Mnożąc liczby zespolone w postaci trygonometrycznej wystarczy pomnożyć ich moduły i argumenty dodać:

Niech z₁ = │z₁│ (cos(arg(z₁)) + i sin(arg(z₁))) = │z₁│ (cos φ₁ + i sin φ₁)

z₂ = │z₂│ (cos(arg(z₂)) + i sin(arg(z₂))) = │z₂│ (cos φ₂ + i sin φ₂)

z₁ * z₂ = │z₁│ (cos φ₁ + i sin φ₁) * │z₂│ (cos φ₂ + i sin φ₂) =

= │z₁││z₂│ (cos φ₁ cos φ₂ + i sin φ₁ sin φ₂) = │z₁││z₂│ (cos (φ₁+φ₂) + i sin(φ₁+φ₂))

Tw: Dzieląc liczby zespolone w postaci trygonometrycznej wystarczy podzielićć ich moduły i argumenty odjąć:

Niech z₁ = │z₁│ (cos(arg(z₁)) + i sin(arg(z₁))) = │z₁│ (cos φ₁ + i sin φ₁)

z₂ = │z₂│ (cos(arg(z₂)) + i sin(arg(z₂))) = │z₂│ (cos φ₂ + i sin φ₂)

z₁ / z₂ = │z₁│ (cos φ₁ + i sin φ₁) / │z₂│ (cos φ₂ + i sin φ₂) =

= │z₁│/│z₂│(cos (φ₁-φ₂) + i sin(φ₁-φ₂))

Tw. De Moure'a

Dla każdego nєN Zⁿ = │z│ⁿ (cos(n * arg(z)) + i sin (n * arg(z)))

Uwaga!!!

iⁿ = 1, n=4k

iⁿ = i, n=4k +1

iⁿ = -1, n=4k +2

iⁿ = -i, n=4k +3

Pierwiastkowanie liczb zespolonych:

1. z² + 4 = 0

2. z³ - 8 = 0

3. z² - 6z + 13 = 0

4. z⁴ + 16 = 0

Postać wykładnicza liczb zespolonych:

Kolejny automorfizm w zb. liczb Z jest określony na bazie l. zesp.

1. Z\{0} -> <0, +oo) x <0, 2π) , jakie 0 ≠ Z -> (|z|, arg z)

2. Wzór Eulera
   Dla każdego xє R e^ix = cos x + i sin x

3. 0≠z = |z|(cos(arg(z)) + i sin(arg(z))) = e ^{i arg(z)} <= postać wykładnicza l. z [PW(z)]
   gdzie PW Z -> Z

4. a) PW(z₁) * PW(z₂) = PW(z₁*z₂), bo z₁z₂ = | z₁|e^{arg (z1) i} *| z₂|e^{arg (z2) i} =| z₁z₂|e^{[arg (z1)+arg(z2)]i}

b) PW(zⁿ) = [PW(z)]ⁿ z = | z|e^{arg (z) i} -> zⁿ = (| z|e^{arg (z) i})ⁿ = | z|ⁿe^{n*arg (z) i}

Definicja pierwiastka algebraicznego liczb zespolonych:

Niech zєZ, to ⁿ z = {ωєZ, ωⁿ = z}, tj. Pierwiastek algebraiczny stopnia n -tego z liczb zespolonych zbiór wszystkich liczb zespolonych, których n -ta potęga jest liczbą podpierwiastkową. Np. -4 = {2i, -2i} , 4 = {2, -2}

Niech z= | z|e^{arg (z) i} , ω = |ω| e^{arg (z) i} oraz ωⁿ =z z= |ω|ⁿ e^{n*arg (z) i} = | z|e^{arg (z) i}

=> |ω|ⁿ =z i n*arg(ω) =arg(z)+2kπ kєC

=> (ω) = ⁿ z i arg(ω) = [arg(z)+ 2kπ] / n

Tw. ⁿ z = {(z_k)ⁿ є Z gdzie z_k = ⁿ | z | e^{[arg(z)+ 2kπ]/n} k=0,1,2….(n-1) } jest to zbiór wszystkich różnych pierwiastków n -tego stopnia.

Np. a) ³ i³

2. z⁴ +16 = 0

Pojecie macierzy. Działania na macierzach.

Def. Macierzą rzeczywista (zespoloną) wymiaru m x n nazywamy odwzorowaniem

Im x In -> R (Z), gdzie Im = {1,2,3…..m}, In={1,2…..n}, oraz (i,j) -> a_ijє R (Z)

Wartość tego odwzorowania a_ij nazywamy elementem macierzy oraz jotej kolumny.

Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu. Notując: A=[a_j]_mxn B=[b_j]_mxn

!! Topologia macierzy - podręcznik

Jeżeli m =n macierz nazywamy macierzą kwadratową stopnia n -tego.

Tzw. macierz jednostkową stopnia n: E_n = I_n = [δ_ij], gdzie [ δ_ij =0 , i ≠j ] [δ_ij =1, i =j ]

Działania na macierzach:

Def. Niech M_n≠m (R) - zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych wymiaru m x n to odwzorowanie „+”:

M_mxn(R) x M_mxn(R) -> M_mxn(R) nazywamy sumą macierzy gdzie A,B є M_mxn (R)

A+B = C c_ij = a_ij + b_ij lub A+b = [a_ij + b_ij] i={1,2…m}, j={1,2…n}

Macierz tych samych wymiarów dodajemy dodając odpowiadające sobie elementy.

Działanie „+” macierzy jest:

1. A+B = B+A

2. (A+B)+C = A+(B+C)

3. A+0 = 0+A = A 0 - MACIERZ ZEROWA 0=[0]

Def. Iloczyn macierzy przez liczbe to odwzorowanie RxM_mxn(R) -> M_mxn(R) gdzie:

άA_mxn = [άa_ij]_mxn -> każdy element przez liczbę

Def. Macierz zespolona (rzeczywista) wymiaru [mxn], to odwzorowanie

[]_mxn:{1,2,..m}x{1,2..n} -> Z(R), gdzie (i,j)-> a_ij є Z(R) oraz notacja A,B,C …

A=

mxn

Ewentualnie a=[a­_i•]_mxn = [a_•j]_mxn

dla oznaczenia

a­_i• = i-ty wiersz : [a_i1, a_i2, a_i3, …… a_im,] i=1…m

a_•j = j-ta kolumna:

a_1j

a_2j j= 1,2…n

.

a_nj

Dodawanie: A+B = [a_ij +b_ij]_mxn

Mnożenie przez liczbę: λA = [λ* a_ij] _mxn

Transpozycja: T: M _mxn->M _nxm gdzie A^T = B b_ij = a_ji

Zamiana kolumn na wiersze i wiersze na kolumny !!!

T

A^T = =

_{4x3 3x4}

• (A+B)^T = A^T+ B^T

• (λA)^T = λA^T

• macierz kwadratową nazywamy symetryczną, gdy jej M transponowana jest z nią identyczną

T

A^T = = = A <- symetryczna A­^T = A

Mnożenie macierzy :

To odwzorowanie, które przeprowadza odpowiednio określone pary macierzy.

Iloczyn macierzy, to odwzorowanie : M_mxp x M_pxn-> M_mxn ,

gdzie dla A є M_mxp, B є M_pxn-> AxB = C є M_{mxn ٨} C_ij = Σa_ik*b_kj / skalarnie/

Uwaga!!:

1. Iloczyn macierzy jest wykonalny gdy ilość kolumn 1 czynnika jest równa ilości wierszy 2 czynnika

2. Wynik iloczynu macierzy ma wierszy tyle ile ma ich pierwszy czynnik, a kolumn tyle ile ma ich 2 czynnik

3. Każdy element iloczynu macierzy jest iloczynem skalarnym wiersza przez odpowiednia kolumnę tj. wiersz x kolumna = wiersz

Własności:

1. A*B ≠ B*A -> Iloczyn macierzy nie jest przemienny nie tylko, ze względu na wykonalność tego działania

2. (AB)C = A(BC) - odpowiednie założenia: [mxp][pxk][kxn]

3. (λA)B = λ(AB)

4. A(B+C) = AB + AC - odpowiednie założenia

5. A+0 = 0+A = A

6. A+(-A) = (-A)+A = 0

Pojęcie wyznacznika

Def. Indukcyjna: wyznacznikiem macierzy nazywamy odwzorowanie det: M_mxn -> Z(R), gdzie

1. det([a­₁₁]) = a₁₁

2. det ( ) = = a₁₁*a₂₂ - a₁₂ *a₂₁

3. W= a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₂₁*a₃₂*a₁₃ + a₃₁*a₁₂*a₂₃ - a₂₁*a₁₂*a₃₃ - a₁₁*a₃₂*a₂₃ - a₃₁*a₂₂*a₁₃

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

4. n>=4
   

1. M_ij = minor macierzy kwadratowej odpowiadający elementowi a_ij jest to wyznacznik macierzy powstałej w macierzy A po wykreśleniu w niej i-tego wiersza i j-tej kolumny

2. A_ij = (-1)^i+j M­ij - dopełnienie algebraiczne elementu a_ij

Det A = M₂₃ =

A₂₃ = (-1)⁵ = -(2+8+12-32-3-2)-(20-35) = 15

det(A) = Σ a_1j A_1j = a₁₁*A₁₁ + a₁₂*A₁₂ +….+ a_1j*A_1j

tzn. Wartość wyznacznika jest równa sumie iloczynu 1 wiersza przez ich dopełnienie algebraiczne

Własności:

1. Definicja dotyczy również danego wiersza i kolumny
   

det(A) = Σ a_ij*A_ij = Σ a_ij *A_ij i= 1…n , j= 1…n

2. det(A) = det (A^T) - wyznacznik macierzy i jej transponowanej są równe - transpozycja macierzy kwadratowej nie zmienia znaku wyznacznika

3. Równoprawność wierszy i kolumn macierzy w jej wyznaczniku
   
   det([a_1•, a_2•, a_{3•, …} a_l•… a_k•… a_n•]) = - det([a_1•, a_2•, a_{3•, …} a_k•… a_l•… a_n•])
   
   Przestawienie macierzy kwadratowej dwóch dowolnych jej wierszy (kolumn) zmienia znak wyznacznika tej macierzy na przeciwny.
   Jeżeli w macierzy kwadratowej 2 wiersze (kolumny) są identyczne to wartość jej wyznacznika jest równa 0

4. det([a_1•, a_2•, a_{3•, …} λa_l•… a_n•]) = λdet([a_1•, a_2•, a_{3•, …} a_l•… a_n•])
   
   Jeżeli wiersz (kolumnę) macierzy kwadratowej pomnożymy przez liczbę to wartość wyznacznika tej macierzy zostanie pomnożona przez tą liczbę.

5. Odwzorowanie wyznacznika jest addytywnym ze względu na dowolny jego wiersz (kolumnę)
   
   det([a_1•, a_{2•, …} a_l•+(a_l•)'_… a_n•]) = det([a_1•, a_{2•, …} a_l•…. a_n•]) + det([a_1•, a_{2•, …} (a_l•)'_… a_n•])
   
   wniosek: jeżeli w macierzy kwadratowej istnieją dwie proporcjonalne kolumny to wyznacznik tej macierzy jest równy 0

6. Jeżeli dla dowolnego wiersza (kolumny) macierzy kwadratowej dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (kolumn) to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
   
   det([a_1•, a_2•, a_{3•, …} a_l•…a_k• .. a_n•]) = det([a_1•, a_2•, a_{3•, …} a_l•+λa_k… a_k• .. a_n•])
   
   
   

Macierz odwrotna

Def. Niech AєM_mxn - A^-1 nazywamy macierzą odwrotną do A A*A^-1 = A^-1*A = E_n (=E), gdzie E=[δ_ij]_mxn - macierz jednostkowa tj. δ_ij = 1,gdy i=j ; δ_ij = 0, gdy i≠j

Twierdzenie o istnieniu jednoznaczności:

det(A) ≠ 0 (macierz a jest nieosobliwa), to istnieje A^-1 oraz A^-1 = (1/det(A))[A_ij]^T

A_ij = (-1)^i+j M_ij

Twierdzenia:

1. (AB)^-1 = A^-1 B^-1 det(A)≠0, det(B)≠0

2. (A^-1)^-1 = A det(A)≠0

3. AX=B X=A^-1B det(A)≠0
   XA=b X=BA^-1 det(A)≠0

Uwaga: BA^-1 ≠ A^-1B

4. AXB=C det(A)≠0, det(B)≠0
   X=A^-1CB^-1

Układ równań n-liniowych o n-niewiadomych - układ Cramera

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ……. a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ……. a_2nx_n = b₂

. A = [A_ij] =

.

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ……. a_nnx_n = b_n

B^T = [b₁, b₂ ….b_n]

Postać macierzowa układu:

x₁ b₁

x₂ b₂

. = . => AX = B X^T =[ x_1, x_{2, .........} x_n]

. .

x_n b_n

Tw. Jeżeli det(A)≠0, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie

1. w postaci macierzowej X = A^-1B

2. dla każdego iє{1…n} x_i = det(A_i)/det(A) gdzie A_i = macierz uzyskana z macierzy A przez zastąpienie jej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

(układ równań z wyznaczników)

Pojecie rzędu macierzy:

Niech AєM_mxn , to rzędem macierzy A (rz(A)) nazywamy maksymalną ilość wierszy (kolumn) liniowo niezależnych

Własności:

1. 0<= rz(A) <= min {m,n}

2. A=0 => rz(A) = 0

3. rz(A) = rz(A^T)

Twierdzenie: Rząd A=k gdy maksymalny stopień minora tej macierzy róznego od zera wynosi k

Ewentualne przekształcenia macierzy niezmieniające jej rzędu (wynikające z podstawowych własności wyznaczników)

1. skreślenie wiersza (kolumny) zerowego macierzy nie zmienia jej rzedu

2. skreślenie jednego z 2 wierszy (kolumny) równych lub proporcjonalnych nie zmienia rzędu tych macierzy

3. przestawienie dowolnych 2 wierszy nie zmienia rzędu macierzy

4. pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę ≠ 0 nie zmienia rzędu macierzy

5. Dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy zachowuje jej rząd

Twierdzenie Kramecera - Capellejego:

Niech dany będzie układ m -równań liniowych o n - niewiadomych postaci:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ……. a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ……. a_2nx_n = b₂

.

.

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ……. a_mnx_n = b_m

macierz główna układu A = [a_ij]_mxn є M_mxn

B = [b₁, b₂, ….b_n] є M_mx1

x = [x₁, x₂……x_n]^T є M_nx1

U= [A/B] - macierz rozszerzona układu (uzupełniona)

Układ m -równań liniowych o n niewiadomych posiada rozwiązanie gdy rząd macierzy głównej = rzędowi macierzy rozszerzonej rz(A) = rz(U)=r, w przeciwnym wypadku układ jest sprzeczny - nie posiada rozwiązań.

Jeżeli ten wspólny rząd jest równy ilości niewiadomych (r=n) to układ ten posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

W przypadku gdy wspólny rząd jest mniejszy od ilości niewiadomych (r<n) to wówczas układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-l parametrów

I Metoda Kramecera - Capellejego :

Rzędem macierzy A nazywamy najwyższy stopień tych jej minorów, które są różne od 0.

Minor = podwyznacznik

0 ≤ R(A) ≤ min (i,j)

R(A) - rząd macierzy A , R(A_r) - rząd macierzy rozszerzonej, n - ilość parametrów

gdy R(A) = R(A_r) = rz - układ ma jedno rozwiązanie

rz = n - układ ma 1 rozwiązanie

rz ≠ n - układ ma wiele rozwiązań zależne n- r parametrów

gdy R(A) ≠ R(A_r) - układ sprzeczny - brak rozwiązań

II Metoda eliminacji Gausa:

Nie ruszamy I rzędu…. I zerujemy kolejno wiersze;

- gdy dojdziemy do 0000..00 | 0 - to skreślamy ten rząd i liczymy dalej;

- gdy dojedziemy do 0000..00 | x - to układ jest sprzeczny;

- w przeciwnym razie liczymy dalej… mogą nam wyjść parametry;

III Metoda Cramera:

Ilość równań = ilości niewiadomych

Det(A) ≠ 0

A potem W , W(x), W(y)….. x = W(x)/ W , y = W(y)/W….

Wektory własne macierzy i własności własne:

Def. Niech A = [a_ij]_nxm wektor u=[u­₁, u₂, u₃…u_n] ≠ 0 !!!!! i λ ε R v λ ε Z

Element λ nazywamy wartością własną macierzy A zaś wektor u wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ jeżeli, (A - λI)*u = 0 (I - macierz jednostkowa)

| A- λ I | = 0 <- nazywamy wielomianem charakterystycznym

np. Znaleźć wektory własne i własności własne macierzy:

Przestrzenie liniowe:

Def. Niech będzie dane ciało (K,+, ∙)

Przestrzenią liniową (wektorową) nazywamy strukturę (V,K,+,∙), gdzie V jest zbiorem następującym (V ≠{ø}) nazywa się zbiorem wektorów. Zbiór K zbiorem skalarów + : działanie V² -> V, działanie wewnętrzne; ∙ : K x V -> V, działanie zewnętrzne.

Jeżeli:

1. (V,+) jest grupą apelową

2. dla każdego α, β ε K i x ε V : α ∙ (β ∙ x) = (α ∙ β) ∙ x

: (α + β) ∙ x = (α ∙ x) + (β ∙ x)

3. dla każdego α ε K i x, y ε V : α ∙ (x + y) = α ∙ x + α ∙ y

4. dla każdego x ε V : 1 ∙ x = x 1 -el. Neutralny mnożenia ∙ w ciele K

Def. Każdy maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni V nazywamy bazą tej przestrzeni, a ich liczbę jej wymiarem.

R³ - max 3 wektory liniowo niezależne

B {u_1, u₂, u₃……u_n}

B_V - baza w przestrzeni V

Vⁿ - V jest przestrzenią n wymiarową

Baza kanoniczna: z e_i

e₁ = [1,0,0….0]

e₂ = [0,1,0….0]

e_k = [0,0..0…1…0]

Wektory na płaszczyźnie R² i=[1,0], j=[0,1]

Wektory na płaszczyźnie R³ i=[1,0,0], j=[0,1,0], k=[0,0,1]

Tw. Jeżeli układ wektorów B={u₁, u₂….u_n}jest bazą przestrzeni V, to każdy wektor n ε V daje się w jeden i tylko jeden sposób przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy.

V_i = Σ b_iku_k

a_k = Σ a'_ib_ik

Sprawdzamy czy wyznacznik z wektorów jest ≠ 0 - to wtedy wektory są liniowo niezależne

lub: α[x,y,z] + β[x₁,y₁,z₁] +λ[x₂,y₂,z₂] = 0 -> α = β = λ = 0

Wtedy układ wektorów jest bazą;

Np.

Niech (V,K,+,∙) będzie strukturą liniową

Def. Strukturę (W,K,+, ∙) nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni V gdy:

1. Ø ≠ W c V

2. dla każdego x,y ε W : x + y ε W

3. dla każdego α ε K, x ε W : α ∙ x ε W

warunek 2 i 3 zapisuje się dla każdego α, βε W , x,y ε W : αx + βy ε W

Niech będzie dana przestrzeń Vⁿ A={u₁, u₂, …. u_k}

Def. Najmniejszą przestrzeń liniową zawierającą wszystkie wektory układu A oznaczamy dim A i nazywamy podprzestrzenią rozpiętą na układzie A lub generowaną przez układ A.

Bazą tej przestrzeni nazywamy maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów

B = {u_f, … u_i} 1≤ f i ≤ k . Liczbę tych wektorów nazywamy wymiarem tej przestrzeni.

Przekształcenia liniowe:

(V,K,+,∙) (W,K, + , ∙ ) będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie f: V -> W nazywamy przekształceniem liniowym jeżeli:

1. dla każdego y,x ε V : f(x+y) = f(x) + f(y) - addytywność odwzorowania f

2. dla każdego α ε K, x ε V : f(αx) = α ∙ f(x) - jednorodność odwzorowania f

=> dla każdego α,β ε K, x,y ε V : f(αx + βy) = α ∙ f(x) + β ∙ f(y)

Def. f: V->W

Jądrem przekształcenia f nazywamy zbiór Ker f =^dt { x ε V f(x)=0 }

Obrazem przekształcenia f nazywamy zbiór Jm f=^dt { yε W ; istnieje x ε V y=f(x) }

Tw. f: V->W

Jądro przekształcenia f jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V.

Obraz przekształcenia f jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W.

Ponadto wymiar przestrzeni dim V = dim Ker f + dim Jm f

Prosta y =ax+b nie jest odwzorowaniem liniowym

Iloczyn skalarny:

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczby R . Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję, której uporządkowanej parze wektorów przyporządkuje się pewną liczbę rzeczywistą (u○v ) funkcję o następujących własnościach: // V²(u,v)-> u○v є R

1. Dla każdego u,v є V u○v = v○u

2. Dla każdego u,v,w є V (u+v)○w = u○w + v○w

3. Dla każdego α є R , u,v є V α(u○v) = (αv)○u

4. u○u = 0 u=0

5. Dla każdego u є V u○v≥ 0

Def. Przesyceń liniowa nad ciałem liczb R z określonym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzenią Euklidesową

Tw. Każda przestrzeń liniowa V nad ciałem liczb rzeczywistych (n - wymiarowa) z iloczynem skalarnym posiada bazę ortonormalną (ortogonalną).

B_v = {u₁, u₂, ….. u_n}

B_v = B_og u_i _|_ u_j i ≠ j i,j = 1..n

B_v = B_on B_v = B_og ^ |u_i| =1 i= 1…n

Ortogonolizacja Schmidta:

B_v = {u₁, u₂, u₃} R³

1. sprawdzamy czy jest to baza wyznacznik ≠ 0 , bądź α[] +β[] +λ[] = 0 α,β,λ= 0

wektory liniowo niezależne

2. B_og= { v₁, v₂, v₃} u₁_|_ v₂, u₁ ­ _|_ v₃, v₂ _|_v₃

v₁ = u₁

v₂ = u₂ + αu₁ u₁_|_ u₂ u₁○ u₂ =0

v₃ = u₃ + βu₁ + λv₂

α β λ

Forma kwadratowa:

Niech A będzie macierzą kwadratową symetryczną A = [a_ij]_nxn x=[x­₁, x₂ … x_n] x_i єR i=1..n

x₁

Funkcję f(x) =[x­₁, x₂ … x_n] x A x x₂ nazywamy formą kwadratową, macierz A - macierzą

x_n

tej formy, rząd tej macierzy r(A) = S nazywamy stopniem formy kwadratowej.

x₁

(x) =[x­₁, x₂ … x_n] x A x x₂ = Σ a_ij x_i x_j

x_n

Def. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R. Formę kwadratową f: V-> R nazywamy :

a) określoną dodatnio (ujemnie) jeżeli

dla każdego xє V, x≠0 f(x) >0 ( f(x)<0 )

b) półokreśloną dodatnio (ujemnie) jeżeli

dla każdego xє V f(x) ≥0 ( f(x)≤0 )

c) nieokreśloną jeżeli przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Tw. Sylwestra :

Niech V będzie formą kwadratową przestrzeni V liniową nad ciałem R:

A - jej macierzą w pewnej bazie przestrzenią V.

Forma f jest określona dodatnio gdy wszystkie minory wodzące macierzy A są dodatnie tzn A_k>0 k=1…n

Forma f jest określona ujemnie gdy (-1)^k A_k>0 k=1…n

Def. Niech V będzie formą kwadratową przestrzeni V liniową nad ciałem R: Jeżeli w pewnej bazie przestrzeni V forma f ma postać : f(x)= Σ a_i x²_i to wyrażenie to nazywamy postacią kanoniczną formy kwadratowej.

• A - macierz formy kwadratowej, możemy policzyć wartości własne i wektory własne;

• λ_i - wartości własne formy kwadratowej

• u_i - wektory własne formy kwadratowej

• wektory własne SA liniowo niezależne - tworzą przestrzeń własną formy kwadratowej - są bazą w pewnej przestrzeni

Tw. Każdą formę kwadratową f(x) (xєRⁿ) można zawsze za pomocą przekształcenia ortogonalnego (ortonormalnego) sprowadzić do postaci kanonicznej

Σ λ_i |u_i|² x²_i ( Σ λ_i x²_i )

Tw. O bezwładności form kwadratowych:

W postaci kanonicznej formy kwadratowej ilość współczynników dodatnich i ujemnych nie zależy od metody sprowadzania tej formy do postaci kanonicznej.

Stwierdzenie: Forma kwadratowa f jest określona dodatnio (ujemnie) gdy wszystkie wartości własne tej formy są liczbami dodatnimi (ujemnymi).

Forma kwadratowa f jest półokreślona dodatnio (ujemnie) gdy wartości własne tej formy są liczbami nieujemnymi (niedodatnimi) i przynajmniej jedna z nich jest równa 0.

Forma f jest nieokreślona jeżeli istnieją dodatnie i ujemnie wartości własne.

Geometria analityczna w R³:

Def. Wektor w = = u₁ x u₂ x … u_{n -1}

nazywamy iloczynem wektorowym wektorów u₁, u₂… u _n-1 i oznaczamy: u₁ x u₂ x … u_n-1 gdzie e_i = [0,…,1,….0] [quasi wyznacznik]

i

i j k

Dla R³: u x v = u₁ u­₂ u₃ i= [1,0,0], j= [0,1,0], k= [0,0,1]

v₁ v₂ v₃

Własności iloczynu wektorowego:

1. u x v = -v x u antyprzemienność

2. u x (v+w) = u x v + u x w rozdzielność

3. α ○(u x v) = . (α ○u )x v

4. u x v= 0 u||v

5. u x v _|_ u ^ u x v _|_ v

6. |u x v| = |u| * |v| sin(u,v) => sin(u,v) = |u x v| / |u|*|v|

Określenie: Uporządkowaną trojkę wektorów (a, b, c) nazywamy zgodnie skierowaną z osiami układu jeżeli :

7. Zwrot wektora u x v jest taki, ze uporządkowana trójka (u, v, uxv) jest zgodnie skierowana z osiami układu.

Iloczyn mieszany:

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów u, v, w nazywamy u○(vxw) =

Interpretacja geometryczna:

P= |u x v| = |u||v| sin(u,v) - pole równoległoboku

P_∆= ½ |u x v| - pole trójkąta

V_rów= | u○(vxw)| - objętość równoległościanu

V_cz = 1/6 | u○(vxw)| - objętość czworościanu

Płaszczyzna w R³:

H, p=(x, y, z) p_o=(x_o, y_o, z_o) u,v || H

p = p_o + tu + kv

(x, y, z) = (x_o, y_o, z_o) + t[u_x, u_y, u_z] + k[v_x, v_y, v_z]

Równanie parametryczne płaszczyzny przechodzące przez p_o i u,v || H

x = x_o + tu_x + kv_x

y = y_o + tu_y + kv_y

z = z_o + tu_z + kv_z

Równanie ogólne:

A(x-x_o) + B(y-y_o) + C(z-z_o) = 0

Równanie ogólne:

Ax + By + Cz + D = 0

Równanie odcinkowe:

x/a + y/b + z/c = 1

Płaszczyzna przez 3 punkty: p_1, p₂, p₃

u || H ^ v || H -> u x v _|_ H [a,b,c] _|_ H

Prosta w R³:

u || l pp_o || l

Równanie parametryczne prostej:

x= x_o + t u_x

y= y_o + t u_y

z= z_o + t u_z

Równanie kierunkowe:

(x-x_o)/ u_x = (y-y_o)/ u_y = (z-z_o)/ u_z

Równanie krawędziowe :

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Rzut wektora u na wektor v:

cos α = uv / |u||v| = |u| / |u_v|

|u_v| = |uv| / |v|

Odległość punktu od płaszczyzny:

d(P_o, H) = |P₁P_{0 [A,B,C]}| = |P₁P₀ * [A, B, C]| / sqrt(A² + B² + C²) =

= |Ax_o +By_o +Cz_o + D| / sqrt(A² + B² + C²)

Odległość punktu od prostej:

d(P_o, l) = |a| = |P₁P_o x u| / |u|

Położenie prostych względem siebie:

a) l₁ || l₂ u₁ || u₂

d(l₁, l₂) = d(P₁, l₂) = d(l₁, P₂)

b) proste się przecinają l₁ ∩ l₂ ≠ Ø d(l₁,l₂) =0

WK/ WW : R(A) = R(Ar) det = 0

c) proste w przestrzeni R ³:

l₁ ∩ l₂ ≠ Ø ^ l₁ || l₂

d(l₁, l₂) = |a| = |P₂P_{1 u1 x u2} |= |P₂P₁ (u₁xu₂)| / | u₁xu₂|

a || u₁ x u₂

20

O O O O O O

O O O + O O O

O O O O O O

a_11, a₁₂ ,…. a_1n

a₂₁,a₂₂ ,..... a_2n

.

.

a_n1,a_n2x₂,…. a_nn

a_11, a₁₂ ,…. a_1n

a₂₁,a₂₂ ,..... a_2n

.

.

a_n1,a_n2x₂,…. a_nn

---