SPROWADZANIE STOŻKOWYCH DO POSTACI KANONICZNEJ

Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie:

ZAD 1.

1. 
   

Wyrażenia stopnia drugiego, występujące w tym równaniu można zapisać następująco:

2. 
   , gdzie
   

Zauważmy, że
. Wówczas można, dokonując przesunięcia, otrzymać równanie krzywej, niezawierającej wyrażeń stopnia pierwszego. Załóżmy, że odwzorowanie
jest szukanym przesunięciem. Wówczas po wstawieniu nowych współrzędnych do równania (1) i odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymujemy:

(3)

Chcemy tak dobrać
, aby
. Rozwiązując ten układ otrzymujemy
. Tak więc szukane przesunięcie ma postać

(4)
.

Po wstawieniu do równania (3) przekształcamy je do postaci

(5)

Lewa strona tego równania jest formą kwadratową i może być zapisana w postaci macierzowej:

(6)

Macierz
jest symetryczna, a więc jest ortogonalnie diagonalizowalna. Sprowadzamy ją do postaci diagonalnej. Wyznaczamy wartości własne:
. Przestrzenie wektorów własnych to
,
. Zatem macierz ortogonalnie diagonalizująca
i w konsekwencji
. Po wyliczeniach otrzymujemy, że macierz diagonalna
. Stąd
. Otrzymujemy więc

(7)

Niech
. Wówczas

(8)
oraz

co pozwala zapisać (5) w postaci

(9)

Oznaczmy

(10)
- czyli

Równanie (9) zamienia się na równanie

(11)

czyli na równanie

(12)

Jest to elipsa o półosiach

UWAGA Z przeprowadzonych rachunków wynika, że dokonując zamiany zmiennych (4) i (10), przekształciliśmy równanie (1) do postaci kanonicznej. Odwzorowanie (10) jest obrotem układu współrzędnych wokół punktu (0,0) o kąt
.

Sprawdzić, że obrót układu wokół punktu (0,0) o kąt
jest odwzorowaniem liniowym danym wzorami:

Inaczej mówiąc - jeżeli ten obrót oznaczymy literą f, to
. Jest to odwzorowanie liniowe, a macierz tego odwzorowania jest macierzą ortogonalną.

ZAD 2.

(1)

Forma kwadratowa, występująca w tym równaniu ma postać
, a odpowiadająca jej macierz kwadratowa ma wyznacznik równy 0. W takiej sytuacji nie istnieje przesunięcie, które by pozwoliło wyrugować wyrazy pierwszego stopnia z równania (1) (Układ równań (4) z poprzedniego zadania jest sprzeczny - sprawdzić to). Jednakże jedna z wartości własnych macierzy o wyznaczniku równym 0 jest równa liczbie 0, co pozwala formę kwadratową sprowadzić do formy zawierającej tylko wyraz w kwadracie, co dalej prowadzi do równania paraboli. (Jeżeli macierz drugiego stopniama wyznacznik równy 0, to jej wiersze są proporcjonalne. Sprawdź, że wówczas 0 jest wartością własną tej macierzy)

Równanie (1) zapisujemy w postaci

(2)

Diagonalizujemy macierz
. Wartości własne
. Przestrzenie wektorów własnych
,
. Macierz ortogonalnie diagonalizująca
,
. Macierz diagonalna
,
,

. Zatem równanie (1) przyjmie postać

czyli
, a po przekształceniu
. Zatem jest to parabola o wierzchołku w punkcie