ANALIZA STRUKTURY ZBIOROWOŚĆI

STRUKTURA - budowa wewnętrzna badanej zbiorowości statystycznej.

ROZKŁAD EMPIRYCZNY - przyporządkowanie liczby obserwacji (liczebności) odpowiednim wartościom cechy zmiennej.

Rozkład empiryczny prezentuje szereg rozdzielczy.

KLASY ROZKŁADÓW EMPIRYCZNYCH

1. Rozkłady symetryczne i asymetryczne

2. Rozkłady jednomodalne, bimodalne i wielomodalne

3. Rozkłady platokurtyczne (spłaszczone) i leptokurtyczne (wysmukłe)

ROZKŁAD SYMETRYCZNY - rozkład posiadający oś symetrii, obserwacje są rozłożone równomiernie po obu stronach osi symetrii. Oś symetrii przecina odciętą w punkcie, która jest średnią arytmetyczną zmiennej

r. normalny r. leptokurtyczny r. platokurtyczny

ROZKŁAD ASYMETRYCZNY - rozkład nie posiadający oś symetrii,

1. rozkład lewostronny - ujemny - większość jednostek grupuje się wokół wartości wyższych w szeregu;

2. rozkład prawostronny - dodatni - większość jednostek grupuje się wokół wartości niższych w szeregu;

r. prawostronny r. lewostronny r. skrajnie ujemny

r. skrajnie dodatni

ROZKŁAD JEDNOMODALNY - krzywa liczebności o jednym ekstremum (maksimum)

ROZKŁAD BIMODALNY - krzywa liczebności o dwóch ekstremach

ROZKŁAD WIELOMODALNY - krzywa liczebności ma więcej niż dwa maksima

r. jednomodalny r. bimodalny r. wielomodalny

PODSTAWOWE WSKAŹNIKI STRUKTURY I NATĘŻENIA

- bezwzględna liczba jednostek i-tego wariantu cechy

- łączna liczba jednostek w zbiorowości

- częstość tj. frakcja

-wskaźnik struktury, tj. stosunek wybranej części zbiorowości do całej zbiorowości;

-wskaźnik natężenia, tj. stosunek liczebności dwóch zbiorowości pozostających ze sobą w logicznej zależności

- liczebności szeregu skumulowanego, (sumowanie liczebności kolejnych przedziałów);

- względny wskaźnik podobieństwa struktur, tj. iloraz sumy mniejszych wskaźników zaobserwowanych w kolejnych przedziałach porównywalnych rozkładów i sumy większych wskaźników;
;

WŁASNOŚCI ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO

TENDENCJA CENTRALNA - POŁOŻENIE - punkt skupienia obserwacji znajduje się w środku rozkładu (symetria) lub w pobliżu środka rozkładu (umiarkowana asymetria)

• R. wykazujące tendencję centralną

• R. nie wykazujące tendencji centralnej

DYSPERSJA - ZRÓŻNICOWANIE , ROZPROSZENIE, ZMIENNOŚĆ - zróżnicowanie jednostek zbiorowości między sobą wartościami cechy zmiennej

• R. słabo zróżnicowane

• R. umiarkowanie zróżnicowane

• R. silnie zróżnicowane

ASYMETRIA - SKOŚNOŚĆ - sposób rozmieszczenia liczebności przy wartościach cechy

• R. symetryczne

• R. umiarkowanie asymetryczne (p,l)

• R. skrajnie asymetryczne (p,l)

KONCENTRACJA - KURTOZA, SPŁASZCZENIE - stopień skupienia obserwacji wokół wartości średniej arytmetycznej

• R. normalny

• R. wysmukły

• R. spłaszczony

PARAMETRY OPISUJĄCE WŁASNOŚCI ROZKŁADU

PARAMETRY KLASYCZNE - miary obliczane na podstawie wszystkich obserwacji, stosowane do analizy rozkładów charakteryzujących się te tendencją centralną;

PARAMETRY POZYCYJNE - wyznaczane na podstawie miejsca jakie zajmują w szeregu lub częstotliwości występowania; szczególnie przydatne w analizie szeregów silnie (skrajnie) asymetrycznych, szeregów z otwartymi przedziałami klasowymi,

WŁASNOŚĆ ROZKŁADU	MIARY KLASYCZNE	MIARY POZYCYJNE
TENDENCJA CENTRALNA	Średnia arytmetyczna	Mediana Me Dominanta D Kwartyle Q1,, Q3 Decyle D1, D2, ..., D9
DYSPERSJA	Wariancja s^2 Odchylenie przeciętne d Odchylenia standardowe s Współczynnik zmienności V(s)	Rozstęp R Odchylenie ćwiartkowe Q Współczynnik zmienności V(Q)
ASYMETRIA	Moment trzeci centralny Moment trzeci względny	Współczynnik skośności A(x)
KONCENTRACJA	Moment czwarty centralny Moment czwarty względny	Wskaźnik spłaszczenia Wk

MIARY POŁOŻENIA

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA - iloraz globalnej wartości cechy oraz liczby obserwacji. Wskazuje jaki poziom badanej cechy przypada na jednostkę zbiorowości; określa jaki jest przeciętny (średni) poziom badanej cechy w zbiorowości.

1. szereg szczegółowy:

x_i - poszczególne wartości cechy

n - ogólna liczba obserwacji

2. szereg rozdzielczy jednostopniowy:

x_i - warianty cechy

n_i - liczebności wariantów cechy

3. szereg rozdzielczy wielostopniowy:

- środek przedziału klasowego

n_i - liczebność w przedziale

MEDIANA - wartość środkowa; wartość cechy jaką posiada jednostka znajdująca się w środku uporządkowanego szeregu. Oznacza ona, iż połowa zbiorowości ma wartości cechy nie większe niż mediana, a druga połowa wartości nie mniejsze niż mediana.

1. szereg szczegółowy - porządkujemy obserwacje wg rosnących wartości cechy i wskazujemy obserwację środkową.

W przypadku parzystej liczby obserwacji wartość mediany jest średnią arytmetyczną z dwóch środkowych obserwacji.

np.

2 3 3 6 7 7 9 11 13

11 13 13 16 18 19 22 22 25 30

2. szereg rozdzielczy jednostopniowy - 1) wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w szeregu, tzw. pozycję mediany, 2) w szeregu skumulowanym znajdujemy klasę zawierającą pozycję mediany, 3) wartość mediany jest wartością cechy we wskazanej klasie;

xi	ni	nicum
0	6	6
1	7	13
2	11	24
3	4	28
4	3	31
5	2	33
∑	33	x








3. szereg rozdzielczy wielostopniowy - 1) wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w szeregu, tzw. pozycję mediany, 2) w szeregu skumulowanym znajdujemy klasę zawierającą pozycję mediany, 3) wyznaczamy medianę w oparciu o wzór interpolacyjny:

	ni	nicum
0-10	9	9
10-20	19	28
20-30	23	51
30-40	14	65
40-50	9	74
50 i więcej	7	81
∑	81	x










KWARTYLE - wartości ćwiartkowe, dzielą zbiorowość, uporządkowaną wg rosnących wartości badanej cechy, na cztery jednakowo liczne części.

KWARTYL PIERWSZY Q₁ - oznacza, iż 25% badanej zbiorowości osiąga wartości cechy nie większe niż Q₁, a 75% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż Q₁.

KWARTYL DRUGI Q₂ - jest równy Medianie, gdyż oznacza, iż 50% badanej zbiorowości osiąga wartości cechy nie większe niż Q₂, a druga połowa - wartości nie mniejsze niż Q_2.

KWARTYL TRZECI Q₃ - oznacza, iż 75% badanej zbiorowości osiąga wartości cechy nie większe niż Q₃, zaś pozostałe 25% - wartości nie mniejsze niż Q₃.

1. szereg szczegółowy - porządkujemy obserwacje wg rosnących wartości cechy i wskazujemy obserwację leżącą w ¼ zbiorowości.

np.

2 3 3 6 7 7 9 11 13




2. szereg rozdzielczy jednostopniowy - 1) wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w szeregu, tzw. pozycję mediany, 2) w szeregu skumulowanym znajdujemy klasę zawierającą pozycję mediany, 3) wartość mediany jest wartością cechy we wskazanej klasie;

xi	ni	nicum
0	6	6
1	7	13
2	11	24
3	4	28
4	3	31
5	2	33
∑	33	x






Q₁=1

Q₃=3


3. szereg rozdzielczy wielostopniowy - 1) wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w szeregu, tzw. pozycję, 2) w szeregu skumulowanym znajdujemy klasę zawierającą pozycję parametru, 3) wyznaczamy parametr w oparciu o wzór interpolacyjny:

	ni	nicum
0-10	9	9
10-20	19	28
20-30	23	51
30-40	14	65
40-50	9	74
50 i więcej	7	81
∑	81	x










DOMINANTA - MODA - to pozycyjna miara położenia wyznaczana przez częstotliwość występowania wyróżnionych wartości cechy. Informuje ona jaka wartość cechy występuje najczęściej (dominuje).

1. szereg szczegółowy - porządkujemy obserwacje wg rosnących wartości cechy i wskazujemy obserwację występującą najczęściej.

np.

2 3 3 6 7 7 7 9 11 13


2. szereg rozdzielczy jednostopniowy - wskazujemy wartość cechy wokół oscyluje największa liczba obserwacji

xi	ni
0	6
1	7
2	11
3	4
4	3
5	2
∑	33




3. szereg rozdzielczy wielostopniowy - 1) wskazujemy przedział klasowy, w którym skupia się największa liczba obserwacji 2) wyznaczamy dominantę w oparciu o wzór interpolacyjny:

	ni
0-10	9
10-20	19
20-30	23
30-40	14
40-50	9
50-60	7
∑	81







GRAFICZNE WYZNACZANIE DOMINANTY







GRAFICZNE WYZNACZANIE KWARTYLI










DYSPERSJA, ROZPROSZENIE, ZRÓŻNICOWANIE, ZMIENNOŚĆ - to zróżnicowanie jednostek zbiorowości pomiędzy sobą pod względem wartości cechy zmiennej.

MIARY DYSPERSJI - umożliwiają uogólnienie różnic w wartościach cechy zaobserwowanych u poszczególnych jednostek.

KLASYCZNE MIARY DYSPERSJI - obliczane na podstawie informacji o wszystkich jednostkach statystycznych, jako wypadkowa różnic w poziomie cechy.

WARIANCJA - średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń wartości cechy od wartości średniej arytmetycznej. WARIANCJA NIE POSIADA LOGICZNEJ INTERPRETACJI

szereg szczegółowy:


szereg rozdzielczy jednostopniowy:


szereg rozdzielczy wielostopniowy:


x_i - warianty cechy

n_i - liczebności wariantów cechy


- środek przedziału klasowego


n - ogólna liczba obserwacji

ODCHYLENIE STANDARDOWE - średnia z odchyleń zaobserwowanych wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Oznacza „o ile wartości cechy różnią się przeciętnie od wartości średniej arytmetycznej”.



< 0 , 100 >

WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI - względna miara dyspersji wyrażająca procentowy udział odchylenia standardowego w średniej arytmetycznej. Pozwala ocenić natężenie zróżnicowania badanej cechy w zbiorowości.

V(S) bliskie 0 - badana zbiorowość jest jednorodna

V(S) → 1 - rośnie siła zróżnicowania zbiorowości ze względu na badaną cechę.

ODCHYLENIE PRZECIĘTNE - średnia z bezwzględnych odchyleń zaobserwowanych wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Oznacza „o ile wartości cechy różnią się przeciętnie od wartości średniej arytmetycznej”.

szereg szczegółowy:


szereg rozdzielczy jednostopniowy:


szereg rozdzielczy wielostopniowy:


WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI -


POZYCYJNE MIARY DYSPERSJI - obliczane są na podstawie dwóch wartości cechy występujących u jednostek zajmujących szczególne miejsce w szeregu (KWANTYLE)

ROZSTĘP - odległość między najmniejszą a największą wartością cechy w rozkładzie. Przedstawia obszar zmienności 100% badanej zbiorowości.


ROZSTĘP DECYLOWY - odległość między decylem pierwszym a decylem dziewiątym. Określa obszar zmienności środkowych 80% jednostek zbiorowości.


ROZSTĘP KWARTYLOWY - odległość między kwartylem pierwszym a kwartylem trzecim. Określa obszar zmienności środkowych 50% jednostek zbiorowości.


R














D₁ Q₁ Me Q₃ D₉

R(Q)

R(D)

ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE - to połowa obszaru zmienności środkowych 50% jednostek zbiorowości.


WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI -


ASYMETRIA - SKOŚNOŚĆ - sposób rozmieszczenia liczebności przy wartościach cechy, położenie punktu skupienia obserwacji, położenie dominanty.

r. symetryczny r. prawostronny r. lewostronny


































ROZKŁAD SYMETRYCZNY - rozkład posiadający oś symetrii, obserwacje są rozłożone równomiernie po obu stronach osi symetrii. Oś symetrii przecina odciętą w punkcie, która jest średnią arytmetyczną zmiennej.


ROZKŁAD ASYMETRYCZNY - rozkład nie posiadający osi symetrii,

1. ROZKŁAD LEWOSTRONNIE ASYMETRYCZNY - UJEMNY - większość jednostek skupia się wokół wyższych wartości cechy w szeregu;




2. ROZKŁAD PRAWOSTRONNIE ASYMETRYCZNY - DODATNI - większość jednostek skupia się wokół niższych wartości cechy w szeregu;




KLASYCZNE MIARY ASYMETRII - stosowane w analizie szeregów rozdzielczych punktowych i przedziałowych, wykazujących tendencję centralną;

MOMENT TRZECI CENTRALNY - średnia arytmetyczna z podniesionych do potęgi trzeciej odchyleń wartości cechy od wartości średniej arytmetycznej; informuje jaki jest kierunek asymetrii rozkładu cechy zmiennej:



rozkład symetryczny


rozkład prawostronnie asymetryczny


rozkład lewostronnie asymetryczny




MOMENT TRZECI WZGLĘDNY - to iloraz momentu trzeciego centralnego i odchylenia standardowego podniesionego do trzeciej potęgi; ocenia siłę i kierunek asymetrii:





POZYCYJNE MIARY ASYMETRII - stosowane gdy rozkład zapisany jest w formie szeregu o przedziałach otwartych, a forma ta wynika z silnej asymetrii a także występowania w rozkładzie wartości skrajnych.

WSPÓŁCZYNNIK ASYMETRII OPARTY O KWARTYLE





MIESZANE MIARY ASYMETRII - stosowane do analizy symetrii rozkładów, w których niewskazane jest obliczanie






1













---