WYKŁAD 8 .

1. Macierze przeniesienia w zastosowaniu do układów ciągłych .

Każdy układ ciągły można przedstawić za pomocą dyskretnego modelu , w którym

liczba mas punktowych może być wyliczana z bezpośredniego podziału , a liczba

elementów sprężystych wynika z podziału albo dyskretyzacji masowej .

np.

dla belki o długości l i masie m , podpartej swobodnie , można dokonać podziału na

skończoną liczbę mas .

Rys.8.1. Belka o długości l i masie m podparta swobodnie .

W przypadku drgań skrętnych wyróżniamy czteroelementowy wektor stanu :

(8.1)

gdzie:

M - moment

Q - siła poprzeczna

Y - ugięcie

θ - kąt ugięcia

Chcąc wyznaczyć macierz przejścia musimy rozpatrzeć element pręta odcięty dwoma

przekrojami i zaznaczyć w tych przekrojach elementy macierzy kolumnowej stanu .

l

przekrój i przekrój i+1

Rys.8. 2. Element belki ograniczony dwoma przekrojami .

Stosują warunki równowagi dla wyodrębnionego odcinka l oraz równanie osi ugiętej

możemy zapisać :

(8.2)

(8.3)

Stosując równanie osi ugiętej możemy napisać :

(8.4)

Z ostatniego równania wynika ,że :

(8.5)

Dla wyodrębnionego przekroju możemy wyznaczyć :

(8.6)

Ostatecznie otrzymujemy :

(8.7)

Biorąc jednak pod uwagę ,że :

(8.8)

Otrzymujemy :

(8.9)

(8.10)

Układ tych równań pozwala utworzyć macierz polową dla belki ciągłej drgającej giętnie .

(8.11)

Otrzymana macierz polowa o wymiarze 4 x 4 jest charakterystyczna tym , że zawiera e-

lementy geometryczne oraz elementy sztywności badanego układu .

(8.12)

Macierz punktowa pozwala ustalić związki miedzy wektorem stanu w dwóch przekro

jach .

Zauważmy jednak , że jeśli masa jest skupiona w punkcie A , to przemieszczenie oraz

kąt ugięcia jest jednakowy .

Prowadzi to do bardzo prostej macierzy punktowej .

A

Mi m θi+1 = θi Mi+1

Qi+1

Qi

Yi = Yi+1

przekrój i przekrój i+1

Rys.8.3. Przekrój belki o długości l i masie m .

(8.13)

(8.14)

(8.15)

Układ równań (8.15) jest podstawą do sformułowania macierzy punktowej .

(8.16)

Macierz punktowa :

(8.17)

2. Zastosowanie macierzy przeniesienia do obliczeń częstości drgań własnych prętów

prostych i wałów .

Rozważając belkę jak na rysunku (rys.8.4 .) zaznaczamy jej przekroje .

itd.

Rys.8.4. Belka z zaznaczonymi przekrojami .

Dla tak zdefiniowanej belki możemy napisać :

(8.18)

gdzie :

(8.19)

Konsekwencją przejścia do następnego przekroju jest wyrażenie analityczne :

(8.20)

Ostatecznie otrzymujemy :

(8.21)

(8.21)

Macierz N można zapisać jako :

(8.22)

Dla rozpatrywanej belki warunki brzegowe są następujące :

(8.23)

Wtedy :

(8.24)

(8.25)

Rozwiązaniem układu jest zerowanie się wyznacznika charakterystycznego :

(8.26)

Analizując te zagadnienia dla belki , można sporządzić wykres wyznacznika (8.26)

w funkcji kątowej ω .

ω

Rys.8.5. Wykres obrazujący miejsca zerowe - rozwiązanie układu .

Dla belki obustronnie podpartej otrzymujemy :

(8.27)

Dla belki jednostronnie podpartej otrzymujemy :

(8.28)

---