BLOK I

ANOVA jako statystyczna
podstawa prowadzenia eksperymentów w psychologii

ANOVA-A ANOVA-AB

Reguły sumowania

Osoby	Grupa a1	Grupa a2	Sumy
1	2	4
2	3	6
3	1	5
Sumy

	Grupa a1	Grupa a2	Sumy
1	Y11 = 2	Y21 = 4	Y.1 = 6
2	Y12 = 3	Y22 = 6	Y.2 = 9
3	Y13 = 1	Y23 = 5	Y.3 = 6
Sumy	Y1. = 6	Y2. = 15	Y.. = 21

Osoby	a1		a2		Sumy
		b1	b2	b1		b2
1	Y111 = 2	Y121 = 3	Y211 = 1	Y221 = 4	Y..1 = 10
2	Y112 = 1	Y122 = 2	Y212 = 1	Y222 = 3	Y..2 = 7
3	Y113 = 2	Y123 = 4	Y213 = 2	Y223 = 4	Y..3 = 12
Sumy	Y11. = 5	Y12. = 9	Y21. = 4	Y22. = 11	Y... = 29

Osoby	a1		a2		Sumy
		b1	b2	b1		b2
1	Y111 = 2	Y121 = 3	Y211 = 1	Y221 = 4	Y..1 = 10
2	Y112 = 1	Y122 = 2	Y212 = 1	Y222 = 3	Y..2 = 7
3	Y113 = 2	Y123 = 4	Y213 = 2	Y223 = 4	Y..3 = 12
Sumy	Y11. = 5	Y12. = 9	Y21. = 4	Y22. =11	Y... = 29

Osoby	a1		a2		Sumy
		b1	b2	b1		b2
1	Y111 = 2	Y121 = 3	Y211 = 1	Y221 = 4	Y..1 = 10
2	Y112 = 1	Y122 = 2	Y212 = 1	Y222 = 3	Y..2 = 7
3	Y113 = 2	Y123 = 4	Y213 = 2	Y223 = 4	Y..3 = 12
Sumy	Y11. = 5	Y12. = 9	Y21. = 4	Y22. = 11	Y... = 29

Osoby	a1		a2		Sumy
		b1	b2	b1		b2
1	Y111 = 2	Y121 = 3	Y211 = 1	Y221 = 4	Y..1 = 10
2	Y112 = 1	Y122 = 2	Y212 = 1	Y222 = 3	Y..2 = 7
3	Y113 = 2	Y123 = 4	Y213 = 2	Y223 = 4	Y..3 = 12
Sumy	Y11. = 5	Y12. = 9	Y21. = 4	Y22. = 11	Y... = 29

Osoby	a1		a2		Sumy
		b1	b2	b1		b2
1	Y111 = 2	Y121 = 3	Y211 = 1	Y221 = 4	Y..1 = 10
2	Y112 = 1	Y122 = 2	Y212 = 1	Y222 = 3	Y..2 = 7
3	Y113 = 2	Y123 = 4	Y213 = 2	Y223 = 4	Y..3 = 12
Sumy	Y11. = 5	Y12. = 9	Y21. = 4	Y22. = 11	Y... = 29

ANOVA - A

Tabela wyników w eksperymencie jednoczynnikowym (A): p = 3; n = 3; n₁ + n₂ + n₃ = 9

Osoby	A
		a1	a2	a3
1	5	3	9
2	6	2	8
3	4	1	7
Y..	15	6	24
Yi.	5	2	8

Y_.. = 45; Y_.. = 5

Sumaryczna tabela ANOVA dla planu jednoczynnikowego (A): n = 3, p = 3

źródło zmienności (wariancji)	SS	df	MS	F	F0,05	F0,01
MIĘDZY (A)	54	2	27	27^∗∗	5,14	10,9
WEWNĄTRZ (błąd eksperyment.)	6	6	1
CAŁA	60	8

∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01

Wewnątrzgrupowa liczba stopni swobody (df_wewnątrz):

Grupa 1: df₁ = n - 1, dla: Y_1k - Y_1. , k = 1,...,n

..........................................................................

Grupa p: df₁ = n - 1, dla: Y_pk - Y_p. , k = 1,...,n

_____________________________________

Dla p grup: df = p(n - 1), czyli:

df_wewnątrz = p(n - 1)

Średnia ogólna (Y_..) jest średnią z p średnich grupowych (Y_i.). Obliczając sumę p odchyleń średnich grupowych od średniej ogólnej (sumy międzygrupowej) dysponujemy następującą międzygrupową liczbą stopni swobody:

df_między = p - 1

Obliczamy odchylenia każdego wyniku (Y_ik) od średniej ogólnej (Y_..), a więc: Y_ik - Y_.. W każdej grupie porównawczej mieliśmy n - 1 stopni swobody. W całej próbie złożonej z p grup, po n osób mamy: pn - 1 = N - 1 całkowitą liczbę stopni swobody:

df_cała = pn - 1

Stopnie swobody są addytywne !!!:

pn - 1 = (p - 1) + p(n - 1) = p - 1 + pn - p = pn - 1

Przykład: p = 3, n = 3. Zatem:

df_cała = df_między + df_wewnątrz

(3)(3) - 1 = 3 - 1 + 3(3 - 1)

8 = 2 + 6

Cała SScała

Między osobami SSmiędzy

Wewnątrz osób SSwewnątrz

Sumy kwadratów

Sumy kwadratów są addytywne

Całkowita liczba stopni swobody pn - 1

Między p - 1

Wewnątrz p(n - 1)

Stopnie swobody

Stopnie swobody są addytywne

Podział całkowitej sumy kwadratów (SS) i całkowitej liczby stopni swobody (df)
w planie jednoczynnikowym (A)

Wynik takiej, k-tej (k = 1,..., n) osoby przypisanej (losowo!)
do i-tej (i = 1,..., p) grupy składa się z trzech elementów:

średniej ogólnej (Y_..), która jest średnią z próby, pobranej losowo z populacji o średniej μ

odchylenia średniej z i-tej grupy (Y_i.) od średniej ogólnej) (Y_..), czyli: Y_i. - Y_..

Odchylenia wyniku k-tej osoby z i-tej grupy (Y_ik) od średniej z i-tej grupy (Y_i.), czyli: Y_ik - Y_i.

założenia:

Y_.. jest oszacowaniem średniej populacyjnej μ

Y_i. - Y_.. = y_i. jest oszacowaniem odchylenia w populacji: μ_i - μ = α_i - efekt główny i-tego poziomu A

Y_ik - Y_i. = y_ik jest oszacowaniem parametru ε_ik, zwanego błędem eksperymentalnym

Model strukturalny wyniku Y_ik:

Y_ik = μ + α_i + ε_i

= Y_.. μ

= Y_i. - Y_.. α

= Y_ik - Y_i. ε

Na poziomie próby model strukturalny wyniku Y_ik:

Y_ik = Y_.. + (Y_i. - Y_..) + (Y_ik - Y_i.)

transformacja

1. Transformacja pierwiastkowa - tę już wyżej objaśniliśmy. Kiedy się nią posłużyć? Jedna tylko uwaga techniczna, gdy w zbiorze danych występują wyniki mniejsze od 10, to wówczas posłużymy się nieco zmodyfikowanym wzorem:

Y'_k =
. Stosujemy ją, gdy rozkład Y jest rozkładem Poissona, jaki ma np. liczba błędów popełnianych przez osoby badane w trakcie rozwiązywania jakiegoś zadania. Stosujemy je także wtedy, gdy wariancje w grupach porównawczych są proporcjonalne do średnich grupowych - gdy między s²_i i Y_i zachodzi, rzecz jasna, że w przybliżeniu, zależność liniowa.

2. Transformacja logarytmiczna:

Y'_k = log Y_k , a gdy wśród danych występują wyniki zerowe lub bardzo małe, to: Y'_k = log (Y_k + 1). Jest ona szczególnie przydatna, gdy wynikami są czasy reakcji (dość chętnie przez psychologów mierzone) i gdy ich rozkład jest wyraźnie dodatnio skośny. Posłużymy się nią, gdy wariancje są proporcjonalne do kwadratów średnich grupowych.

3. Transformacja ilorazowa:

Y'_k = 1/Y'_k , a gdy wśród danych występują wyniki zerowe, to stosujemy wzór:

Y'_k= 1/(Y_k + 1).

Znajduje ona zastosowanie, gdy zmienną zależną jest czas reakcji czy czas rozwiązywania problemów. Stosujemy przekształcenie ilorazowe, gdy odchylenia standardowe są proporcjonalne do kwadratów średnich.

D. Transformacja arcsin: Y' = 2arcsin
, gdzie Y wyrażony jest pod postacią proporcji.

W miejsce 0 i 1 wstawiamy, odpowiednio,

„1/4n” i „1 - 1/4n”

(n - liczba obserwacji).

Ta transformacja jest zalecana, gdy wyniki wyrażone są pod postacią proporcji, np. proporcja poprawnych odpowiedzi w jakimś teście.

ANOVA - AB

Sumaryczna tabela ANOVA dla planu dwuczynnikowego (AB): p = 3, n = 3, q = 2

źródło zmienności (wariancji)	SS	df	MS	F	F0,05	F0,01
A	1,78	2	0,89	0,84	3,49	5,95
B	5,55	1	5,55	5,24^∗	4,75	9,33
AB	101,78	2	50,89	48,00^∗∗	3,49	5,95
WEWNĄTRZ (błąd eksper.)	12.67	12	1,06
CAŁA	121,78	17

∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01

Tabela ANOVA dla prostych efektów głównych: A | b_j oraz B | a_i - dla danych z eksperymentu dwuczynnikowego AB:

Źródło zmienności	SS	df	MS	F	F0,05;df1;df2
										0,05	0,01
A | b1	48,66	2	24,33	22,95^∗∗	3,49	5,95
A | b2	54,89	2	27,44	25,58^∗∗
B | a1	42,67	2	42,67	40,25^∗∗	4,75	9,33
B | a2	10,67	1	10,67	10,06^∗∗
B | a3	54	1	54	50,94^∗∗
Wewnątrz	12,67	12	1,06

∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01

Oszacowaniami:

1. 
   jest ၠY_...

2. 
   = ၭ_i.. - ၭ_... czyli efektu i-tego poziomu czynnika A jest różnica: ၠY_i.. - ၠY_...

3. 
   = ၭ_.j. - ၭ_... czyli efektu j-tego poziomu czynnika B jest różnica: ၠY_.j. - ၠY_...

(4)
= ၭ_ij. - ၭ_... - ၡ_i - ၢ_j =
ၭ_ij. - ၭ_... - (ၭ_i.. - ၭ_... ) - (ၭ_.j. - ၭ_...) =
ၭ_ij. - ၭ_i.. - ၭ_.j. + ၭ_...
czyli efektu interakcyjnego i-tego poziomu czynnika A z j-tym poziomem czynnika B jest wyrażenie: Y_ij. - ၠY_i.. - ၠY_.j. + ၠY_...

(5) ၥ_ijk czyli błędu eksperymentalnego jest różnica: Y_ijk - ၠY_ij.

Model ijk-tego wyniku - na poziomie populacji:

Y_ijk = ၭ + ၡ_i + ၢ_j + ၡ_iၢ_j + ၥ_ijk

Wynik ijk-tej osoby, na poziomie próby:

Y_ijk = ၠY_... + [(ၠY_i.. - ၠY_...) + (ၠY_.j. - ၠY_...) +
(ၠY_ij. - ၠY_i.. - ၠY_.j. + ၠY_...) + (Y_ijk - ၠY_ij.)]

Odchylenie pojedynczego wyniku od średniej ogólnej:

Y_ijk - ၠY_... = [(ၠY_i.. - ၠY_...) + (ၠY_.j. - ၠY_...) +
(ၠY_ij. - ၠY_i.. - ၠY_.j. + ၠY_...) + (Y_ijk - ၠY_ij.)]

Podnosząc obie strony równania do kwadratu:

SS_cała = SS_A + SS_B + SS_AB + SS_błąd

SS_cała =

SS_A =

SS_B =

SS_AB =

SS_błąd =

Procentowo

wyrażone wielkości
wariancji cząstkowej wyjaśnionej
wpływem na Y

czynników: A i B oraz interakcji AB

Przykład I - ANOVA-A

Wariancja wyjaśniona Y równa się:

ω²_A =
100% =

= 85,25%

Wariancja błędu Y (błędu) równa się:

100% - 85,25% = 14,75% Przykład II - ANOVA-AB

ω²_A =
100% =

=

-0,0028 ≈ 0%

ω²_B =
100% =

= 3,65%

ω²_AB =
100% =

= 81,13%

Wariancja wyjaśniona Y: 0% + 3,65% + 81,13% = 84,78%

Wariancja błędu Y: 100% - 84,78% = 15,22%

Literatura

Brzeziński, J. (2008). Badania eksperymentalne w psychologii i pedagogice (wyd. 2). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe Scholar.

Jerzy Brzeziński SWPS-Wrocław - metodologia - kurs zaawansowany; BLOK I - 2008

2

Badanie empiryczne

kontekst
teorii

1. Natura zmiennych

2. Postać związku
   Y ze zmiennymi niezależnymi: A, B, ...

kontekst
modelu statystycznego

ANOVA

1. Model ANOVA/MR

2. Lin. vs. ~lin.

3. Addytywność

4. Trafność modelu:
   I., II., III.

kontekst modelu

pomiarowego Y

1. Skala pomiarowa Y

2. Model psychometryczny:

A - Gulliksen

B - SEM

C - Estymacja przedziałowa

D - Trafność teoretyczna

kontekst interakcji:
„badacz - OB”

1. Oczekiwania badacza

2. Wskazówki (zmienne) sugerujące hipotezę

3. Lęk przed oceną

4. Status motywacyjny OB

5. Etyczność badania

b₁

b₁

b₂

1

2

3

4

5

6

7

8

Y_ij.

a₂

a₁

1

2

3

4

5

6

7

8

Y_ij.

a₂

a₁

Profil efektów prostych:
A | b₁ oraz A | b₂ - występowanie interakcji AB

Profile efektów prostych:
A | b₁ oraz A | b₂ - brak interakcji AB

b₂

---