Marcin Rudziński

Potęgowanie liczb - Szkoła Podstawowa

Omówione podręczniki to: „Matematyka krok po kroku”, „Matematyka 2001”, „Matematyka z plusem”.

1. W którym miejscu jest wprowadzone, co jest potrzebne aby je wprowadzić?
   Potrzebna jest umiejętność mnożenia liczb naturalnych, całkowitych i ułamków.

„Matematyka krok po kroku”- wprowadzone jest na początku czwartej klasy.

”Matematyka 2001” - wprowadzone jest w połowie drugiego semestru piątej klasy. ”Matematyka z plusem” -wprowadzone jest już w połowie pierwszego działu piątej klasy jako skrócony zapis mnożenia. Na początku szóstej klasy potęgowanie jest już zdefiniowane dokładniej i omówione są własności potęgowania.

2. Sposoby wprowadzenia.

1. „Matematyka Krok po Kroku”

Pojęcie potęgi w tym podręczniku pojawia się po raz pierwszy w czwartej klasie, w dziale „liczby naturalne”. Wiadomości jakie uczeń powinien zapamiętać z tego tematu ograniczają się jedynie do interpretacji potęgi jako skróconego zapisu mnożenia jednakowych czynników oraz obliczania potęgi liczb naturalnych o wykładnikach 0,1,2 i 3. Uczeń jest tu informowany, że iloczyn tych samych wykładników można zapisać w skróconej postaci, np. 2∙2∙2=2³ itp.

Autorzy podają również podstawowe własności potęgowania

a¹=a

a⁰=1 gdy a≠0

Treści zawarte w tym podręczniku wymagają również od ucznia umiejętności prawidłowego odczytywania zapisu potęgi (np. 3 do kwadratu, 7 do sześcianu)

Klasa 5

Pojęcie potęgowania w klasie piątej pojawia się w temacie „Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych”. Najpierw autorzy wyjaśniają, że potęgowanie jest skróconym zapisem mnożenia oraz opisane są własności mnożenia. Dalej jest kilka ćwiczeń dotyczących mnożenia. Następnie wyjaśnione jest, że: Skróconym zapisem mnożenia jest potęgowanie. Podane są przykłady:

7∙7∙7∙7∙7∙7∙7∙7=7⁸

11∙11∙11∙11∙11=11⁵

W dalszej kolejności autorzy wyjaśniają, że:

Potęgę liczby 10 łatwo obliczyć dopisując do 1 tyle zer, ile wynosi wykładnik potęgi.

Przykład:

10⁴=10000

Podane są również własności potęgowania:

a²=a∙a

a³=a∙a∙a

aⁿ=a∙a∙…∙a , dla n>1

jeśli a≠0 to:

a⁰=1

Autorzy umieścili również trzy zadania:

1. Zapisz za pomocą potęgi:

1. 6∙6

2. 3∙3∙3∙3

3. 10∙10∙10

4. 1∙1∙1∙1∙1∙1

2. Oblicz:

a)7² 3³ 0¹⁰ 10⁵

b)15¹ 169⁰ 13² 1¹⁵

3) Wyjaśnij zapisy

a) 2³∙2²=2∙2∙2∙2∙2=2³⁺²∙2⁵

b)3³∙2³=3∙3∙3∙2∙2∙2=(3∙2)(3∙2)(3∙2)=(3∙2)³=6³

Zadanie trzecie wyjaśnia dwie własności potęgowania:

1. Mnożenie potęg o tych samych podstawach (dodajemy wykładniki)

2. Mnożenie potęg o tych samych wykładnikach (mnożymy podstawy, a wykładnik pozostaje bez zmian)

Temat: „Potęgi ułamków”

Potęgowanie ułamków wyjaśnione jest na przykładzie:

(
)⁴=
∙
∙
∙
= (1∙1∙1∙1) / (2∙2∙2∙2) = 1 / 16

Ćwiczenie pierwsze polega na wyjaśnieniu sposobu obliczeń we wcześniej wykonanym przykładzie. Oraz uzasadnieniu, że przy potęgowaniu ułamka
założyć trzeba, że b≠0.

Podana jest też ogólna zasada potęgowania ułamków:

Jeżeli a,b,n są liczbami naturalnymi oraz b≠0 to (a/b)ⁿ= aⁿ/bⁿ

Następnie podane są zadania dotyczące potęgowania ułamków .

Np.

Zad 1. Oblicz:

1. (1/3)² , (1/3)³ , (1/3)⁴ , (1/3)⁵

2. (2 ½)² , (2 2/3)³ , (2 ¼)⁴ , (1 ½)⁵

Zad 2. Zamiast * wstaw odpowiednik liczby:

1. (2/*)⁴=(16/81)

2. (*/3)³=8/27

3. (1/4)^*=1/64

4. (16/93)^*=1

Potęgowanie jest też wykorzystywane w temacie „Mnożenie ułamków dziesiętnych” w pierwszym ćwiczeniu:

1. Sprawdź równości:

(0,2)²=0,2∙0,2=0,04

(0,2)⁴=0,2∙0,2∙0,2∙0,2=0,0016

(0,3)³=0,3∙0,3∙0,3=0,027

(0,3)⁴=0,3∙0,3∙0,3∙0,3=0,0081

Klasa 6

Temat: Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych. Własności. Potęgowanie.

Temat rozpoczyna się od przypomnienia własności mnożenia i dzielenia liczb naturalnych. Następnie przypominana jest budowa potęgi oraz własności potęgowania:

n- wykładnik, a- podstawa potęgi

a⁰=1 , gdy a≠0

a¹=a

aⁿ=a∙a∙…∙a dla n>1 , n- czynników

Dalej są proste ćwiczenia typu:

- zapisz w postaci potęgi;

- oblicz wartość potęgi;

Autorzy przypominają również o wartości potęgi liczby 10.

Przykładowe zadania:

Zad1. Rozwiąż równania i sprawdź:

a)2³∙x=8

b)10⁶:x=20

Zad2. Wstaw odpowiedni znak „<”, „>” albo „=”.

1. 10³__ 1000

2. 120__ 10²

3. 100000__ 10⁷

4. 2⁴__ 17

5. 3³__ 7

O potęgowaniu jest też mowa w następnym temacie : „ Kolejność wykonywania działań”.

Jest tylko jedno zadanie wykorzystujące to działanie:

Zad. Oblicz:

1. 32+(7²-5)+(4∙3³)-55=

2. (100-5²∙4):17=

3. 333+(5³-17)-2⁴∙3=

Temat: Potęgowanie liczb całkowitych.

Temat rozpoczyna się od przedstawienia przykładu:

3⁴=81

(-3)⁴=(-3)∙(-3)∙(-3)∙(-3)=81

Następnie przypomniane są podstawowe własności potęgowania oraz zasady potęgowania liczb ujemnych. Załóżmy, że a<0 i n>1

Jeśli n jest liczbą parzystą to aⁿ=(a∙a)(a∙a)∙…∙(a∙a). Wyróżniane iloczyny jako iloczyny dwóch liczb są liczbami dodatnimi, a zatem aⁿ jest liczbą dodatnią. Analogicznie jest wyjaśnione, że iloczyn nieparzystej ilości ujemnych czynników jest liczbą ujemną. Poniżej w ramce wypisane są uogólnione własności potęgowania liczb ujemnych:

jeśli a≠0, to a⁰ = 1;

a¹=a.

jeśli a jest liczbą całkowitą ujemną oraz n>1:

aⁿ=|a|ⁿ ,gdy n jest liczbą parzystą;

aⁿ=-|a|ⁿ ,gdy n jest liczbą nieparzystą.

Autorzy nie zapomnieli również o wyjaśnieniu:

0⁰ jest nieokreślone.

Ćwiczenie pierwsze porównuje wyniki podnoszenia liczb przeciwnych do tej samej potęgi:

4³= (-4)³=

3⁶= (-3)⁶=

2⁷= (-2)⁷=

W następnym temacie „Wzory związane z oblizaniem potęg”, autorzy omawiają inne własności potęgowania:

Jeśli a i b są liczbami całkowitymi oraz n ≥ 0 i m ≥ 0, to:

aⁿ ∙ aⁿ= a^n+m, aⁿ : a^m = a^n-m , gdy a ≠ 0 I n ≥ m

(a ∙ b)ⁿ = aⁿ∙ bⁿ, (a : b)ⁿ = aⁿ: bⁿ , gdy b≠ 0

(aⁿ)^m = a^n+m

Jeśli n = 0 lub m = 0 to zakładamy, że podstawy potęg nie są zerami.

Przykładowe zadania:

Zad. 1

Przedstaw w postaci iloczynu dwóch potęg o jednakowych podstawach.

(-9)¹²=

(-3)⁹=

a¹⁴=

x⁸=

Zad. 2

Wstaw brakujące liczby w miejsce kresek i gwiazdek:

__* : __* = (6:2)⁸

(-4)* = [(-4)*]⁰

3⁸ = (3⁴)*

Temat: Potęgowanie liczb wymiernych.

Potęgowanie ułamków jest wprowadzone za pomocą przykładu:

Dzielimy sznurek na 2 równe części, a następnie jedną z nich dzielimy jeszcze raz na 2 równe części. Jaką długość ma najkrótsza część sznurka?

½ ∙ ½ = ( 1/2 )² początkowej długości sznurka.

A co jeśli tą najkrótszą część podzielimy jeszcze raz na 2 równe części? Długość tych sznurków będzie równa:

½ ∙ ½ ∙ ½ = (½)³ długości początkowej.

Rozwiązane są też przykłady:

(-1/3)³, (-1/3)²

Przykładowe zadania:

Zad. 1. Oblicz:

1. (3³-2²)/1⁵=

2. (0³∙ 3¹⁷)/3³=

3. (2³: 2²) ∙ 2 =

4. (-2)⁴/2³ + 2³=

Autorzy przypominają również o wartości liczby zapisanej w postaci 10ⁿ. podany jest również przykład zapisania masy Ziemi w prostej postaci:

5,975 ∙ 10²⁴ kg

2. ”Matematyka 2001”

W podręczniku „Matematyka 2001” pojęcie potęgowania po raz pierwszy pojawia się w połowie drugiego semestru piątej klasy w temacie : „Czyja największa”.

Autorzy w kilku zdaniach wyjaśniają, że: „iloczyn dwóch jednakowych liczb, np. 12 ∙ 12, często zapisuję się krócej jako 12². Taki zapis czytamy: „dwanaście do kwadratu” lub „kwadrat liczby 12” lub „12 do potęgi 2”. Niepodana jest tu jednak bezpośrednia definicja potęgi. Zapis ten jest wykorzystany, w tym temacie do obliczania pól kwadratów:

P = a ∙ a = a², oraz przy zamianie jednostek pola.

Np.:

Zad. 1.

Zamień na cm² i mm²

1. 5 dm²

2. 16 dm²

3. 21 dm²

Klasa 6

Temat: Potęga pantofelka.

Temat rozpoczyna się od podania przykładu pantofelka, który rozmnaża się przez podział, oraz, mniej więcej co 24 godz. z jednego pantofelka powstają 2 nowe osobniki. Pytania dotyczące tego przykładu to m.in.

1. Ile pantofelków będzie w stawie po upływie 48 godzin?

2. Ile czasu musi upłynąć, aby w stawie było więcej niż 1000 pantofelków?

Następnie w tabeli umieszczona jest informacja. Iloczyn dwóch lub więcej takich samych czynników możemy zapisać krócej w postaci potęgi

5 ∙ 5 = 5²

4 ∙ 4 ∙ 4 = 4³

3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3⁴

Autorzy informują także o poprawnym sposobie czytania takiego zapisu oraz omawiają budowę potęgi na przykładach:

5² (-3)⁷

Przykładowe zadania:

Zad. 1.

Zapisz w postaci iloczynu i oblicz:

1. 4³=

2. -1⁶=

3. (-6)²=

4. (2,5)²=

5. (1/5)³=

6. (-1/2)²=

Dalej autorzy omawiają dwie własności potęgowania:

a¹ = a

a⁰ = 1 , gdy a ≠ 0;

Następnie autorzy zajmują się pierwiastkami kwadratowymi i sześciennymi.

Wspomniane jest również o pierwszeństwie potęgowania i pierwiastkowania w wykonywaniu działań.

Łamigłówka występująca w tym temacie wykorzystuje własność potęgowania zwaną: „potęgowanie potęgi”, a która nie została jeszcze wprowadzona.

Łamigłówka: Oblicz:

((2²)²)²

((((1/2)²)²)²)²

(((2)¹)²)³

Przykład ten jednak nie sprawi, iż uczniowie zauważą, że w takim przypadku należy mnożyć wykładniki, a będą robić wszystko po kolei.

Własności potęgowania wykorzystuje się również w rozwiązywaniu zadań z tematu: „Która droga najlepsza, zajmującego się wykorzystaniem działań na liczbach wymiernych”.

Zad.1. Oblicz:

²,
²,
³,
³;

Zad.2. Jaką liczbą jest x?

1. 
   =1

2. 
   = 2

3. 
   = 3

4. 
   = 6

Zad. 3. Oblicz:

1. 
   ^{2 -
   2} =

2. 
   ³ -
   ³=

3. 
   ² - (
   )² =

3. „Matematyka z plusem”

Klasa 5

Temat: Rachunki pamięciowe.

Jest tu już wspomniane potęgowanie, mimo to że nie pada nazwa działania oraz nie są opisywane jego własności.

W jednym z ćwiczeń wypisane są równości w chmurkach:

5 ∙ 5 = 5²

4 ∙ 4 ∙ 4 = 4³

20 ∙ 20 = 20²

Zadanie polega na obliczeniu następujących przykładów (wykorzystując te wiadomości):

1. 6²= 3³= 8²= 7²=

2. 10²= 100³= 1000²=

3. 30²= 60²= 50³= 90²=

W ten sam sposób pośrednio jest wprowadzone potęgowanie ułamków w temacie: „Mnożenie ułamków”.

(2/5)³= (2/5)∙ (2/5)∙ (2/5)

(1 1/2)²= (3/2)² = (3/2) ∙ (3/2)

A ćwiczenie wykorzystujące te wiadomości polega na wykonaniu następujących obliczeń:

1. (3/7)²=, (2/5)²= , (2 1/2)²=

2. (1/2)³=, (2/3)³=, (2 1/2)³=

Wiadomości dotyczące kwadratów i sześcianów liczb wykorzystywane są w tematach pola figur, zamiany jednostek pola powierzchni oraz objętości brył.

Klasa6

Podręcznik do klasy 6 już w drugim temacie: „Potęgowanie liczb” wprowadzone jest i dokładnie omówione nowe działanie jakim jest potęgowanie.

Temat rozpoczyna się od rysunku drzewka genealogicznego oraz od przedstawienia sposobów znalezienia liczby dziadków, pradziadków, itd.

Przedstawione są również odpowiednie zapisy wykonywanych działań:

2 ∙ 2 = 2²

2 ∙ 2 ∙2 = 2³

2 ∙2 ∙ 2 ∙ 2 = 2⁴ ….

Obok tych działań podane są również odpowiednie sposoby czytania takich potęg:

Np. kwadrat, sześcian liczby 2, 2 do potęgi 4 itp.

Następnie podane jest ćwiczenie, w którym należy stwierdzić, w którym pokoleniu wstecz liczba twoich przodków była większa niż 1000.

Dalej autorzy omawiają budowę oraz własności potęgi:

5²

Dla dowolnej liczby a i liczby naturalnej n >1 możemy określić potęgę liczby a o wykładniku n:

aⁿ= a ∙ a ∙… ∙a (n czynników)

Uwaga. Określamy również potęgę o wykładniku 1 oraz (dla liczb rożnych od 0) potęgę o wykładniku 0.

a¹=a

a⁰=1 a ≠ 0

podane są również w ramce przykłady obliczania potęg:

5⁴= 5∙5∙5∙5 = 625

0,2³ = 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,008

1,5¹= 1,5

W dalszej kolejności umieszczone są dwa ćwiczenia.

Ćw. 1. Oblicz:

3⁴=, 5²=, 0,5²=, 0,3³=, 0,2⁵=, 0,1⁴=, 6⁰=, 7¹=;

Ćw. 2

a) Oblicz potęgi:

10⁴=, 10⁵=, 10⁶=, 10⁷=;

b) Zapisz w postaci potęgi liczby 10:

miliard - 1 000 000 000

bilion - 1 000 000 000 000

trylion - 1 000 000 000 000 000 000

kwadrylion - 1 000 000 000 000 000 000 000 000

Autorzy wspominają również o tym, że „ potęgi liczby 10 przydają się do zapisywania bardzo dużych liczb”. Podane są również przykłady takiego wykorzystania.

Np. W Bałtyku jest około 2,2 ∙ 10¹⁶ litrów wody (ta liczba to dwie dwójki i 15 zer).

Przykładowe zadania:

Zad. 1 Porównaj podane liczby:

5³__5⁴

7²⁵__7³⁵

1¹⁰⁰__2²⁰

6¹²__7¹²

0,3¹⁴__0,2⁴

0,3⁵__0,03⁵

Zad.2. Oblicz:

1,5 ∙ 10⁶

7 ∙ 10⁸

10¹⁰ + 1

10⁴ + 10²

3 : 10³

Przy jednym z zadań umieszczona jest tabelka zawierająca, zapisane w postaci potęgi liczby 10, liczby takie jak: milion, miliard itd.

Ćwiczenie to polega na porównaniu liczb:

1. Tysiąc bilionów i trylion;

2. Milion bilionów i trylion;

3. Milion trylionów kwadrylion;

4. Milion septylionów i milion.

Potęgowanie liczb jest również wykorzystywane w następnym temacie „przykłady pierwiastków” w zadaniach typu:

Zad. Oblicz:

²=,
⁴=,
=,

²=,
⁴=,
=;

4. Jakie problemy, trudności mogliby mieć uczniowie podczas realizacji tego zagadnienia?

1. Uczniowie często nie potrafią mnożyć liczb ujemnych. Nie wiedzą czy wynik jest dodatni, czy ujemny;

2. Uczniowie często nie potrafią mnożyć ułamków;

3. Uczniowie często źle interpretują potęgowanie. Np. 3²=3∙2 co jest nieprawdą;

4. Uczniowie często potęgę typu 2⁰ interpretują jako 2⁰=0 co jest nieprawdą;

5. Uczniowie często zapominają o nieoznaczoności liczby 0⁰ i piszą, że jest ona równa 0;

6. Uczniowie często mylą wykładnik potęgi z podstawą potęgi. Zdarza się, że piszą np. 2³=3∙3 co jest nieprawdą ;

7. Uczniowie mogą mieć problemy z prawidłowym odczytaniem potęgi;

8. Uczniowie często mają problem z zamianą jednostek powierzchni i objętości;

9. Uczniowie często potęgując liczbę mieszaną oddzielnie potęgują część całkowitą i ułamek;

5. Podczas realizacji, jakich tematów są one później wykorzystywane?

Własności potęgowania wykorzystywane są również w innych działach matematyki. Wykorzystywane są m.in. w tematach:

1. Pole kwadratu.

P = a ∙ a = a² (pole powierzchni kwadratu jest równe kwadratowi długości jego boku)

Pole kwadratu jest też wykorzystywane w obliczaniu pól innych figur, złożonych m.in. z kwadratów.

2. Obliczanie objętości sześcianu.

V = a ∙ a ∙ a = a³

Obliczanie objętości sześcianu jest też wykorzystywane w obliczeniach objętości innych brył.

3. Zamiana jednostek powierzchni i objętości.

Np. 1 cm² = 10 mm ∙ 10 mm =(10 mm)² = 100 mm²

10 m³ = 100 cm ∙ 100 cm ∙ 100 cm = (100 cm)³ = 1000000 cm³

4. Wyrażenia algebraiczne.

W tym temacie potęgowanie jest wykorzystywane w redukcji wyrazów podobnych oraz obliczaniu wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego.

6. Czy występują i w jakiej postaci na egzaminach zewnętrznych, podać przykłady zadań uwzględniając poszczególne standardy.

Zad. 1 ( standard I.4 Czytanie, uczeń odczytuje dane z tabeli)

Tabela przedstawia dane na temat liczby ludności w wybranych województwach w 2000 roku.

Nazwa województwa	Ludność
mazowieckie	5074 tysięcy
dolnośląskie	297 ∙ 10^4
warmińsko- mazurskie	1470000
śląskie	4840 ∙ 10^3

Które z tych województw ma najmniejszą liczbę ludności?

Zad. 2 (standard V.3 Wykorzystanie wiedzy w praktyce, uczeń wykonuje obliczenia dotyczące powierzchni)

1. Biebrzański Park Narodowy - największy w Polsce ma powierzchnię 59,2 tyś. hektarów. Ile to km²?

2. Ojcowski Park Narodowy ma 16 000 000 m², a Wigierski Park Narodowy 15 tyś. ha. Który z nich jest większy?

Zad. 3. (standard III.8 Rozumienie, uczeń ustala sposób rozwiązania zadania oraz prezentacji tego rozwiązania)

Zapisz i oblicz: Suma trzeciej potęgi liczby 5 pierwiastka kwadratowego z liczby 36.

1. Iloraz pierwiastka kwadratowego z liczby 900 oraz sumy kwadratu liczby 3 i drugiej potęgi liczby 6.

Zad. 4. (standard IV.2 Uczeń korzysta i informacji i posługuje się nimi)

1. Wybrano pewną liczbę większą od 20 a mniejszą od 30. Cyfrą jedności jej trzeciej potęgi jest cyfra 7, a czwartej 1. Jaka to liczba?

2. Wymyśl podobną zagadkę.

7. Czy można w jakiś sposób wykorzystać je podczas realizacji ścieżek między przedmiotowych lub podczas realizacji programu z innego przedmiotu?

1. Przyroda:

Z nieszczelnego kranu wycieka jedna kropla wody na sekundę. Ile kropli wody wycieknie z tego kranu w ciągu jednego roku? Oblicz objętość tej wody w metrach sześciennych. Masa jednej kropli wody wynosi 4 ∙ 10^-5 kg. (1 doba = 8,64 ∙ 10⁴ [s])

2. Technika:

Arkusz papieru złożono sześciokrotnie.

1. Ile kartek ma w ten sposób powstała „książka”?

2. Jaką grubość ma arkusz papieru , jeśli powstała w ten sposób „książka” ma grubość 6,5 mm.

3. Informatyka:

Liczba binarna jest liczbą złożoną z samych zer i jedynek. Ile istnieje różnych liczb binarnych 10 cyfrowych?

4. Historia:

1. Króla Polski Przemysława II zamordowano w roku, który jest czwartą potęgą liczby o połowę większej od niej. W jakim roku zamordowano Przemysława II? (1296)

2. Suma potęg drugiego stopnia liczb 44 i 8 pomniejszona o potęgę liczby jeden daje rok wejścia Polski do NATO. Jaki to rok?

8. Sformułować cele operacyjne do poszczególnych zagadnień.

Uczeń wie:

• Czym jest potęga;

• Czym jest mnożenie;

• Czym jest potęgowanie;

• Czym jest podstawa i wykładnik potęgi;

Uczeń zna:

• Budowę potęgi;

• Podstawowe własności potęgowania;

• Kolejność wykonywania działań;

• Zasady mnożenia liczb całkowitych oraz ułamków;

• Jednostki powierzchni i objętości;

Uczeń umie:

• Zapisać potęgi w postaci iloczynu;

• Zapisać iloczyn jednakowych czynników w postaci potęgi;

• Obliczyć wartości potęg o podstawie i wykładniku naturalnym;

• Objaśnić kolejność wykonywania działań w zapisie beznawiasowym i z nawiasami;

9. Przedstawić podstawowe zadania, które należałoby wykonać z uczniami, aby mogli opanować to zagadnienie. Zadania ciekawe, oryginalne, zadania dla uczniów bardzo zdolnych.

1. Zadania, które należałoby wykonać z uczniami, aby mogli opanować to zagadnienie:

1. Zapisz za pomocą potęgi:

1. 6∙6=

2. 3∙3∙3∙3

3. 10∙10∙10

4. 1∙1∙1∙1∙1∙1

2. Oblicz:

1. 7²

2. 3³

3. 0¹⁰

4. 169⁰

5. 1¹⁵

6. 15¹

3. Wyjaśnij zapisy:

1. 2³∙2²= 2∙2∙2∙2∙2=2⁵

2. 3³∙2³=3∙3∙3∙2∙2∙2=(3∙2) ∙ (3∙2) ∙ (3∙2)=(3∙2)³=6³

3. (2³)²=(2∙2∙2) ∙ (2∙2)=2⁶=2^3∙2

4. Oblicz:

1. (1/2)²=

2. (1 ¼)³=

3. (3/8)²=

4. (3³-2²)/1⁵=

5. (-2)⁴2³)+2³=

2. Zadania ciekawe i zadania dla uczniów zdolnych:

1. Pewna potęga liczby 10 jest mniejsza niż 99 999. Jaki jest wykładnik tej potęgi? Czy odpowiedź jest jednoznaczna?

2. Najdłuższymi dinozaurami były diplodok i brachiozaur. Przyjmijmy, że pewien diplodok ważył 10⁴ kg, a brachiozaur był od niego 4 razy cięższy. Ile ton ważył ten brachiozaur?

3. Oblicz

• [(-198)⁶ : (198)⁴] ∙ [(-198)³ : (-198)]=

• (2 ∙ 10¹⁵)/10¹²=

• (3 ∙10¹⁴) / (6 ∙ 10¹¹)=

• 
  =

4. Masa Księżyca wynosi:

73 470 000 000 000 000 000 000 kg

Masa Słońca wynosi:

1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg

Masa Ziemi wynosi:

5 975 000 000 000 000 000 000 000 kg

Oblicz iloraz:

- masy Księżyca oraz masy Ziemi;

- masy Księżyca oraz masy Słońca;

- masy Ziemi oraz masy Słońca;

5. Oblicz masę Jowisza, wiedząc, że jest ona około 3,179 ∙ 10² razy większa niż masa Ziemi.

6. Czas przed startem rakiety podaje się niekiedy za pomocą liczb ujemnych, na przykład -3 h oznacza, że do startu pozostały 3 godziny. Odliczanie czasu rozpoczęto 48 h przed startem rakiety. Podaj ten czas w sekundach i przedstaw go w postaci liczby ujemnej z zastosowaniem potęgi.

7. Światło w próżni pokonuje w ciągu godziny odległość około

1,08 ∙ 10⁹ km . Zapisz w postaci iloczynu potęg odległość, wyrażoną w km, którą światło pokonuje w ciągu jednej doby.

8. 10 = (22 - 2) : 2

10 = 2^{2 ∙ 2} - 2 - 2 - 2

10 = 2 ∙ 2^{2 + 2} - 22

Powyżej przedstawiono liczbę 10 na trzy różne sposoby, używając jedynie cyfry 2. Zapisz, używając tylko cyfry 2 rok swoich urodzin. Postaraj się użyć jak najmniej dwójek.

10. Jakie ciekawe metody, środki dydaktyczne można wykorzystać podczas realizacji tego zagadnienia?

Ścieżki:

- czytelniczo- medialna:

W 1974 roku wydobyto we wszystkich krajach 1,313 ∙ 10⁹ m³ ropy naftowej, a w 1965 roku zaledwie 703 ∙ 10⁶ m³ . ile razy więcej ropy wydobyto w 1974 roku niż w 1965 roku? Jak sądzisz, z jaka dokładnością należy podać ten wynik?

- regionalna:

Zad.

1. Ewa jeździ do szkoły rowerem. Po dotarciu na miejsce zabezpiecza swój rower łańcuchem z szyfrowym zamkiem. W każdym z okienek zamka może się pojawić cyfra od 0 do 9. Ile różnych szyfrów mogłaby ustalić Ewa, używając swojego zamka?

2. Ile różnych szyfrów Mogłaby ustalić Ewa, gdyby podobnego zabezpieczenia z kodem czterocyfrowym?

-ekologiczna:

Ta myszka wybiera się na śniadanie. Ma do pokonanie 3 ściany. W każdej ścianie są trzy dziury. Na ile sposobów może się ona dostać do swojego przysmaku?

-ekologiczna:

Drożdże rozmnażają się przez podział. Po upływie godziny ilość drożdży podwaja się. Ile razy zwiększa się ilość drożdży po upływie 5 godzin?

- czytelniczo medialna:

Najstarsza ze znanych zagadek świata ma około 3500 lat. Oto ona:

Gdy podążałem do miasta, spotkałem człowieka z siedmioma żonami. Każda z żon miała siedem toreb, a w każdej z nich było po siedem kotów. Ile kotów niosły te kobiety?

-wychowanie patriotyczne i obywatelskie:

Konrad Mazowiecki sprowadził do Polski krzyżaków w roku, który jest kwadratem pewnej liczby. Jaka to liczba?

- prozdrowotna:

W 1 mm³ krwi zdrowego mężczyzny znajduje się około 5 mln krwinek. Ile krwinek zawiera cała krew, jeżeli jej objętość u przeciętnego mężczyzny wynosi 5 litrów.

-europejska:

Suma potęg drugiego stopnia liczb 44 , 8 i 2 daje rok wejścia Polski do UE. Jaki to rok?

Metody:

Można wykorzystać metodę projektu, praca w grupach:

Gra edukacyjna: Wyścig rzędów

Gra jest „wyścigiem rzędów”. Każdy uczeń w rzędzie wpisuje do trójkąta wynik działania i podaje następnej osobie. Osoba, która otrzymuje kartkę ma prawo poprawić błędny wynik. Wygrywa rząd, który rozwiąże zadania najszybciej i poprawnie. Zaletą tej gry jest fakt, że pracuje cała klasa i wszyscy są zmobilizowani.

8⁷

8¹²

:8⁵

8⁷

:8²⁰

8

---