1. Zbiory

a) Dwa zbiory A i B są równe, gdy każdy element ze zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót.

b) Zbiór A zawiera się w zbiorze B, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i piszemy A
B

c) Ze względu na liczbę elementów zbiory dzielimy na:

• zbiory skończone- np. zbiór uczniów w klasie, zbiór dzielników liczby 12

• zbiory nieskończone- np. zbiór liczb niewymiernych

• zbiory puste- zbiór, do którego nie należy żaden element, np. zbiór parzystych dzielników liczby 13

2. Przedziały liczbowe

1. przedział domknięty <a;b> o początku a i końcu b, gdzie a<b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniających warunek a
   x
   b. Zbiór liczb spełniających ten warunek możemy też zapisać:

• <a;b>={x: x
  R i a
  x
  b}

• x
  <a;b>

• 
  x
  a i x
  b

2. przedział otwarty (a;b) o początku a i końcu b, gdzie a<b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek a<x<b. Zbiór liczb spełniających ten warunek możemy zapisać:

• (a;b)= {x: x
  R i a<x<b}

• x>a i x<b

• 
  

3. przedziałem prawostronnie domkniętym (a;b> o początku a i końcu b, gdzie a<b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniających warunek a<x
   b

4. przedziałem lewostronnie domkniętym <a;b> o początku a i końcu b, gdzie a<b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniających warunek a
   x<b

3. Zbiór liczb rzeczywistych (R) i jego podzbiory

a) zbiór liczb naturalnych (N)

N={0, 1, 2, 3, ..., n-1, n, n+1, ....}

0- najmniejsza liczba naturalna

(n-1)- liczba poprzedzająca liczbę n

n- pewna liczba naturalna

(n+1)- następna liczba po n

brak liczby największej

b) zbiór liczb całkowitych (C)

• zbiór liczb całkowitych parzystych

{..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ..., 2n-2, 2n, 2n+2, ...}

• zbiór liczb całkowitych nieparzystych

{..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ..., 2n-1, 2n+1, 2n+3, ...}

c) zbiór liczb wymiernych (W)

• 
  do zbioru liczb wymiernych należy każda liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie p, q
  R i q
  0

• liczbami wymiernymi są: liczby całkowite, ułamki zwykłe i dziesiętne, ułamki dziesiętne nieskończone okresowe

• każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe

• ułamki zwykłe nieskracalne, których mianowniki w rozkładzie na czynniki pierwsze mają tylko liczby 2 i 5, mają rozwinięcia dziesiętne skończone

• jeśli w rozkładzie mianownika ułamka zwykłego na czynniki pierwsze oprócz liczb 2 i 5 występują inne liczby pierwsze, to taki ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone ale okresowe

• ilość cyfr w okresie ułamka musi być mniejsza od liczby występującej w mianowniku ułamka zwykłego

d) zbiór liczb niewymiernych (NW)

• do zbioru liczb niewymiernych należy każda liczba, której nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych

• suma liczb wymiernych może być liczbą niewymierną lub liczbą wymierną

• w wyniku mnożenia lub dzielenia liczb niewymiernych możemy otrzymać zarówno liczbę niewymierną jak i liczbę wymierną

e) działania w zbiorze liczb rzeczywistych

• działanie jest wykonalne w pewnym zbiorze, jeżeli dla dowolnych elementów z tego zbioru wynik wykonanego działania również należy do tego zbioru.

działania zbiór liczbowy	dodawanie	odejmowanie	mnożenie	dzielenie
N	tak	nie	tak	nie
C	tak	tak	tak	nie
W	tak	tak	tak	tak*
R	tak	tak	tak	tak*

*- z wyjątkiem dzielenia przez 0

4. Potęgowanie

1. potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym

• wyrażenie aⁿ nazywamy potęgą o podstawie a i wykładniku n

2. potęga o wykładniku wymiernym

• potęgę o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej określamy wzorem:


; gdzie n
N₊\ {1} oraz a
0

• potęgę o dowolnym wykładniku ułamkowym określamy wzorem:


; gdzie a>0 i m
C i n
N₊\ {1}

---