1.

Różniczką zupełną dz funkcji z = f ( x, y) w punkcie P = ( x , y ) dla przyrostów dx i dy 0

0

0

nazywamy wyrażenie:

= ᇱ

+ ᇱ

࢞

૙, ૙

࢟

૙, ૙

Wykorzystywana przy obliczaniu przybliżonych wartości wyrażeń 2.

- Gradient funkcji skalarnej

૚,…, ࢔ oznaczany , Innym oznaczeniem gradientu f jest grad f

- Dywergencja, div, w matematyce - operator różniczkowy oznaczany div, będący sumą pierwszych pochodnych cząstkowych po współrzędnych kartezjańskich,

࢟

=

࢞

ࢠ

+ +

-Operator Laplace'a (laplasjan) – operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych.

∆ =

- operator Nabla - w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z układem współrzędnych kartezjańskich nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem

= ,, = + +

3.

Pochodna kierunkowa w punkcjie A względem funkcji u:

= ′

(࢞૙)

∗ + ′

∗ + ′

∗

࡭

(࢟૙) ࡭

(ࢠ૙) ࡭

࡭

4.

Prawo Darcy’ego - Opisuje zależność między prędkością filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym u, a występującym gradientem ciśnień grad P

∆"

= − ! # $%&'(:

u – prędkość przepływu

µ – lepkość przepływu

∆௣ - spadek ciśnienia przypadający na jednostkę miąższości ośrodka

௟

K – parametr stały, charakterystyczny dla danego ośrodka porowatego 5.

Całka szczególna - Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego na przedziale (a, b) nazywamy funkcję spełniającą to równanie w każdym punkcie tego przedziału. Np. Funkcja ) = *(௫ jest rozwiązaniem szczególnym równania ᇱ − = +࢞, na przedziale (-¥, ¥) Całka ogólna - Rozwiązaniem ogólnym) równania różniczkowego rzędu n nazywamy rodzinę krzywych całkowych tego równania zależną od n parametrów (C1, C2, ... ,Cn), których wartości można tak dobrać, aby otrzymać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe

ᇱሺ࢞

(࢔ି૚)

૙ሻ

૙

= ૙,

= ૚, …

=

(࢞૙)

࢔ି૚

dla każdego układu wartości początkowych ૙, ૙, ૚, … , ࢔ି૚, dla których krzywa taka istnieje.

6.

Ogólna postać liniowego równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu, zdefiniowanego względem funkcji dwóch zmiennych, np. u( x, y) ma postać:

,࢞࢞ + -࢞࢟ + .࢟࢟ + /࢞ + 0࢟ + 1 =

gdzie współczynniki A, B, C, D, E, F mogą być funkcjami x oraz y, podobnie jak funkcja wymuszająca f=f(x,y). Zakłada się też, że przynajmniej jeden ze współczynników A, B, C jest różny od zera, Zbiór rozwiązań ( x,y) takiego równania opisuje krzywą, przy czym krzywa ta jest: elipsą, gdy ∆> 0

parabolą, gdy ∆= 0

hiperbolą, gdy ∆< 0

- Równanie Laplace’a – równanie opisuje stan ustalony, brak zmiennej czasowej 2૛3 2૛3

2 +

= 4

૛

2૛

- Równanie przewodnictwa cieplnego

23

2૛3

25 = 2

૛

- Równanie falowe – rozkład funkcji w czasie i przestrzeni

2૛3 6 2૛3

25 =

૛

2૛

7.

Funkcja Ei (funkcja całkowo-wykładnicza)

࢞ +࢚

+ = 7 5 5

ିஶ

Funkcja błędu Gaussa (erf). Funkcja nieelementarna.

; ࢞

89: =

7 +ି࢚૛5

√= ૙

Uzupełniająca funkcja błędu (erfc): 89:> = 6 − 89: ()

8.

Współrzędne walcowe (φ, r, h)

φ – miara kąta między dodatnią półosią OX a rzutem promienia wodzącego punktu P na

płaszczyznę OXY

r – odległość rzutu P' punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu współrzędnych

h – odległość punktu P od płaszczyzny OXY; ze znakiem plus (+), gdy P leży nad tą

płaszczyzną, a w przeciwnym wypadku przed odległością stawiamy minus (-)

wtedy:

= @

? = A@, + @CD4, ;=, ≥ 4

= B

Współrzędne sferyczne (φ, θ, r)

ϕ– miara kąta pomiędzy dodatnią półosią OX, a rzutem promienia wodzącego punktu P na

płaszczyznę OXY, EF[0,2G)

θ– miara kąta między płaszczyzną OXY, a promieniem wodzącym punktu P, HF I− గ , గJ

ଶ ଶ

r – odległość punktu P od początku układu współrzędnych, K ≥ 0

wtedy:

= M@

L = MA@

= AM

9.

Strumień wektora przez powierzchnię, tw. Gaussa Niech NF Oଷ będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą S, a P(x,y,z),Q(x,y,z) i R(x,y,z) będą funkcjami posiadającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze V. Prawdziwa jest wówczas następująca zależność

S" SQ SO

P" %)%& + Q %&%* + O %*%) = R(S* + S) + S&)%*%)%&

ௌ

௏

Przy czym całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni S.

10.

Równanie ciągłości dla przepływów jednofazowych w ośrodku porowatym

B 5T@ +TB + TBU = 4 óVAVżA+

B 5T@ + TB

࢞

+ TB࢟ + TBࢠ + TBU = 4

u- wektor prędkości filtracji o współrzędnych , ρ – gęstość płynu,

φ – porowatość ośrodka porowatego,

q – intensywność źródeł,

h – parametr geometryczny,

x, y, z – współrzędne prostokątne,

t – czas.

11.

Równanie filtracji przepływ stacjonarny (równanie Bernoulliego) Wଶ

X

(௠ =

+ $ℎ +

2

Y = Z[\]^ $%&'(:

em - energia jednostki masy płynu,

ρ - gęstość płynu,

v - prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu, h - wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna, g- przyspieszenie grawitacyjne,

p - ciśnienie płynu w rozpatrywanym miejscu.

Równanie filtracji przepływ niestacjonarny ( równanie Boussinesqa) S

S`

S

S`

S`

S* _` S* + S) _` S) = a + ∅ S^ $%&'( ∶

k- współczynnik filtracji ośrodka porowatego

ϕ – porowatość ośrodka porowatego

x,y - współrzędne poziome

t – czas

N – intensywność wymiany płynu z otoczeniem

12.

Pole skalarne - jest funkcją określoną w przestrzeni (w szczególności na płaszczyźnie lub innej powierzchni), której wartościami są liczby z ustalonego zbioru (rzeczywiste lub zespolone) b: O௡ →

O, b: O௡ → c

Pole wektorowe – funkcja, przyporządkowująca każdemu punktowi danej przestrzeni wektor. Musi ona spełniać następujący warunek: wektory przypisane dwóm punktom z otoczenia każdego punktu muszą być prawie takie same.

13.

Pole potencjalne - pole sił, dla którego istnieje skalarna funkcja φ(x, y, z) taka, że w każdym punkcie pola siła działająca na próbne ciało wyrażona jest wzorem F = -gradϕ.

Warunkiem istnienia pola potencjalnego jest jego bezwirowość (tj. w każdym punkcie spełniona jest równość rotF = 0). Przykład pola potencjalnego to klasyczne pole grawitacyjne i pole elektrostatyczne.

14.

Przybliżone metody rozwiązywania równań algebraicznych:

- Reguła falsi

- Metoda siecznych

- Metoda Newtona (stycznych)