Różniczką zupełną dz funkcji z = f ( x, y) w punkcie P = ( x , y ) dla przyrostów dx i dy 0
0
0
nazywamy wyrażenie:
= ᇱ
+ ᇱ
࢞
,
࢟
,
Wykorzystywana przy obliczaniu przybliżonych wartości wyrażeń 2.
- Gradient funkcji skalarnej
,…, oznaczany , Innym oznaczeniem gradientu f jest grad f
- Dywergencja, div, w matematyce - operator różniczkowy oznaczany div, będący sumą pierwszych pochodnych cząstkowych po współrzędnych kartezjańskich,
࢟
=
࢞
ࢠ
+ +
-Operator Laplace'a (laplasjan) – operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych.
∆ =
- operator Nabla - w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z układem współrzędnych kartezjańskich nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem
= ,, = + +
3.
Pochodna kierunkowa w punkcjie A względem funkcji u:
= ′
(࢞)
∗ + ′
∗ + ′
∗
(࢟)
(ࢠ)
4.
Prawo Darcy’ego - Opisuje zależność między prędkością filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym u, a występującym gradientem ciśnień grad P
∆"
= − ! # $%&'(:
u – prędkość przepływu
µ – lepkość przepływu
∆ - spadek ciśnienia przypadający na jednostkę miąższości ośrodka
K – parametr stały, charakterystyczny dla danego ośrodka porowatego 5.
Całka szczególna - Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego na przedziale (a, b) nazywamy funkcję spełniającą to równanie w każdym punkcie tego przedziału. Np. Funkcja ) = *(௫ jest rozwiązaniem szczególnym równania ᇱ − = +࢞, na przedziale (-¥, ¥) Całka ogólna - Rozwiązaniem ogólnym) równania różniczkowego rzędu n nazywamy rodzinę krzywych całkowych tego równania zależną od n parametrów (C1, C2, ... ,Cn), których wartości można tak dobrać, aby otrzymać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe
ᇱሺ࢞
(ି)
ሻ
= ,
= , …
=
(࢞)
ି
dla każdego układu wartości początkowych , , , … , ି, dla których krzywa taka istnieje.
6.
Ogólna postać liniowego równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu, zdefiniowanego względem funkcji dwóch zmiennych, np. u( x, y) ma postać:
,࢞࢞ + -࢞࢟ + .࢟࢟ + /࢞ + 0࢟ + 1 =
gdzie współczynniki A, B, C, D, E, F mogą być funkcjami x oraz y, podobnie jak funkcja wymuszająca f=f(x,y). Zakłada się też, że przynajmniej jeden ze współczynników A, B, C jest różny od zera, Zbiór rozwiązań ( x,y) takiego równania opisuje krzywą, przy czym krzywa ta jest: elipsą, gdy ∆> 0
parabolą, gdy ∆= 0
hiperbolą, gdy ∆< 0
- Równanie Laplace’a – równanie opisuje stan ustalony, brak zmiennej czasowej 23 23
2 +
= 4
2
- Równanie przewodnictwa cieplnego
23
23
25 = 2
- Równanie falowe – rozkład funkcji w czasie i przestrzeni
23 6 23
25 =
2
7.
Funkcja Ei (funkcja całkowo-wykładnicza)
࢞ +࢚
+ = 7 5 5
ିஶ
Funkcja błędu Gaussa (erf). Funkcja nieelementarna.
; ࢞
89: =
7 +ି࢚5
√=
Uzupełniająca funkcja błędu (erfc): 89:> = 6 − 89: ()
8.
Współrzędne walcowe (φ, r, h)
φ – miara kąta między dodatnią półosią OX a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY
r – odległość rzutu P' punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu współrzędnych
h – odległość punktu P od płaszczyzny OXY; ze znakiem plus (+), gdy P leży nad tą
płaszczyzną, a w przeciwnym wypadku przed odległością stawiamy minus (-)
wtedy:
= @
? = A@, + @CD4, ;=, ≥ 4
= B
Współrzędne sferyczne (φ, θ, r)
ϕ– miara kąta pomiędzy dodatnią półosią OX, a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY, EF[0,2G)
θ– miara kąta między płaszczyzną OXY, a promieniem wodzącym punktu P, HF I− గ , గJ
ଶ ଶ
r – odległość punktu P od początku układu współrzędnych, K ≥ 0
wtedy:
= M@
L = MA@
= AM
9.
Strumień wektora przez powierzchnię, tw. Gaussa Niech NF Oଷ będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą S, a P(x,y,z),Q(x,y,z) i R(x,y,z) będą funkcjami posiadającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze V. Prawdziwa jest wówczas następująca zależność
S" SQ SO
P" %)%& + Q %&%* + O %*%) = R(S* + S) + S&)%*%)%&
ௌ
Przy czym całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni S.
10.
Równanie ciągłości dla przepływów jednofazowych w ośrodku porowatym
B 5T@ +TB + TBU = 4 óVAVżA+
B 5T@ + TB
࢞
+ TB࢟ + TBࢠ + TBU = 4
u- wektor prędkości filtracji o współrzędnych , ρ – gęstość płynu,
φ – porowatość ośrodka porowatego,
q – intensywność źródeł,
h – parametr geometryczny,
x, y, z – współrzędne prostokątne,
t – czas.
11.
Równanie filtracji przepływ stacjonarny (równanie Bernoulliego) Wଶ
X
( =
+ $ℎ +
2
Y = Z[\]^ $%&'(:
em - energia jednostki masy płynu,
ρ - gęstość płynu,
v - prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu, h - wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna, g- przyspieszenie grawitacyjne,
p - ciśnienie płynu w rozpatrywanym miejscu.
Równanie filtracji przepływ niestacjonarny ( równanie Boussinesqa) S
S`
S
S`
S`
S* _` S* + S) _` S) = a + ∅ S^ $%&'( ∶
k- współczynnik filtracji ośrodka porowatego
ϕ – porowatość ośrodka porowatego
x,y - współrzędne poziome
t – czas
N – intensywność wymiany płynu z otoczeniem
12.
Pole skalarne - jest funkcją określoną w przestrzeni (w szczególności na płaszczyźnie lub innej powierzchni), której wartościami są liczby z ustalonego zbioru (rzeczywiste lub zespolone) b: O →
O, b: O → c
Pole wektorowe – funkcja, przyporządkowująca każdemu punktowi danej przestrzeni wektor. Musi ona spełniać następujący warunek: wektory przypisane dwóm punktom z otoczenia każdego punktu muszą być prawie takie same.
13.
Pole potencjalne - pole sił, dla którego istnieje skalarna funkcja φ(x, y, z) taka, że w każdym punkcie pola siła działająca na próbne ciało wyrażona jest wzorem F = -gradϕ.
Warunkiem istnienia pola potencjalnego jest jego bezwirowość (tj. w każdym punkcie spełniona jest równość rotF = 0). Przykład pola potencjalnego to klasyczne pole grawitacyjne i pole elektrostatyczne.
14.
Przybliżone metody rozwiązywania równań algebraicznych:
- Reguła falsi
- Metoda siecznych
- Metoda Newtona (stycznych)