Relacje

Rachunek różniczkowy i całkowy

Granica ciągu

Twierdzenia o ciągach

Granica funkcji

Ciągłość funkcji liczbowych

Własności funkcji ciągłych

Pochodna funkcji

Różniczka funkcji

Obliczanie pochodnych

Twierdzenie Rolle'a

Twierdzenie l'Hospitala

Twierdzenie o przyrostach

Ekstremum funkcji

Twierdzenie i wzór Taylora

Wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji. Punkt przegięcia.

Rachunek całkowy jednej zmiennej

Warunki R-całkowalności

Własności całki oznaczonej

Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego

Zastosowanie całki oznaczonej

Całka niewłaściwa w przedziale nieskończonym

Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej

Całki niewłaściwe zależne od parametru

Testy zbieżności całki niewłaściwej

Szeregi liczbowe i funkcyjne.

Szereg liczbowy

Szereg Taylora

Twierdzenia Banacha (przestrzenie metryczne)

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Zbiory w przestrzeni Rⁿ

Funkcje wielu zmiennych

Granica i ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji n zmiennych.

Pochodne cząstkowe

Relacje

Def. Produktem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych <x, y>, gdzie x ∈ X i y ∈ Y. [<x, y> ∈ XxY] ⇔ [(x ∈ X) ∧ (y ∈ Y)]

Def. Relacja binarna w zb. X jest:

1. refleksyjna (zwrotna) jeżeli ∀x x ϕ x

2. symetryczna jeżeli ∀x, y ∈ X (x ϕ y ⇒ y ϕ x)

3. tranzytywna (przechodnia) jeżeli ∀x, y, z ∈ X ( x ϕ y oraz y ϕ z ⇒ x ϕ z )

4. słabo antysymetryczna jeżeli ( x ϕ y oraz y ϕ x ⇒ x = y )

gdy spełnione 1 - 3 to relacja jest relacją równoważności w X.

Def. Relację (≤) w X, która jest refleksyjna, tranzytywna oraz słabo antysymetryczna nazywamy porządkiem. Porządek spójny nazywamy porządkiem liniowym.

Def. (Tw. Dirichleta) Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeżeli istnieje bijekcja f: A → B | A ~ B.

Def. Mówimy, że zbiory równoliczne, A i B mają tę samą moc.

Tw. Jeżeli (R, +, *, 0, 1, ≤) jest ciałem uporządkowanym i ma własności kresu, to systemy (R, +, *, 0, 1) i (R, +, *, 0, 1, ≤) są izomorficzne, tzn. istnieje bijekcja f: R → R, który zachowuje wszystkie działania strukturalne.

Lemat Adama Każda liczba x ∈ R może być granicą pewnego ciągu liczb wymiernych.

Rachunek różniczkowy i całkowy

Granica ciągu

Def. Liczbę g nazywamy granicą ciągu (a_n), jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego n > δ spełniona jest nierówność |a_n - g| < ε. Piszemy przy tym lim a_n = g.

lim a_n = g ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ |a_n - g| < ε

Def. Liczbę g nazywamy granicą ciągu (a_n), jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu g na osi liczbowej leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Def. Mówimy, że ciąg (a_n) jest rozbieżny do plus (minus) nieskończoności wtwg ∀M ∃δ ∀n>δ a_n > (<) M i piszemy lim a_n = +(-)∞

Twierdzenia o ciągach

Tw. Ciąg zbieżny jest ograniczony.

Tw. (Bolzano-Weierstrass) Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

Tw. (o trzech ciągach) Jeżeli lim a_n = lim c_n = g, a ponadto istnieje taka liczba δ₀, że dla każdego n > δ₀ spełniona jest nierówność a_n ≤ b_n ≤ c_n, to lim b_n­ = g.

Tw. (o zachowaniu nierówności słabej) Jeżeli
i
oraz istnieje taka liczba δ₀, że dla każdego n > δ₀ spełniona jest nierówność a_n ≤ b_n, to a ≤ b.

Tw. (Warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu) Ciąg (a_n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ taka, że dla każdych dwóch liczb naturalnych r i s większych od δ spełniona jest nierówność |a_r - a_s| < ε. (a_n) zb. ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀r,s>δ |a_r - a_s| < ε

Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych) Jeżeli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne, lim a_n = a, lim b_n = b, to ciągi (a_n ± b_n), (a_n * b_n), (a_n / b_n) są także zbieżne, przy czym: lim (a_n ± b_n) = a ± b, lim (a_n * b_n) = a * b, lim (a_n / b_n) = a / b (b_n i b ≠ 0).

Def. Mówimy, że ciąg (a_n) punktów przestrzeni metrycznej X_d jest zbieżny do elementu g przestrzeni X_d wtwg ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ d(<a_n, g>) < ε.

Granica funkcji

Def. Zbiór Q(x₀; r) = {x ∈ X: d(<x₀, x>) < r} nazywamy otoczeniem punktu x₀. Liczbę r nazywamy promieniem otoczenia.

Def. Zbiór S(x₀; r) = Q(x₀; r) - {x₀} nazywamy sąsiedztwem punktu x₀ ∈ X.

Def. Punkt x₀ ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtwg do każdego otoczenia Q(x₀; r) należy co najmniej jeden różny od x₀ punkt x ∈ A. ∀ε>0 ∃x ∈ A x ∈ S(x₀; ε).

Tw. Punkt x₀ przestrzeni metrycznej X_d jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtwg istnieje ciąg (x_n) o wyrazach należących do zbioru A - {x₀} i taki, że.

Def. Punkt X₀ przestrzeni metrycznej X_d nazywamy punktem izolowanym zbioru A ⊂ X wtwg x₀ ∈ A oraz gdy x₀ nie jest punktem skupienia zbioru A.

Def. (Heinego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ g granicę g i piszemy
wtwg dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach ze zbioru D_f - {x₀} i zbieżnego do punktu x₀ ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do punktu g.

Def. (Cauchy'ego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ granicę g i piszemy
wtwg ∀ε>0 ∃δ ∀x ∈ D_f 0 < d_x(<x, x₀>) < δ ⇒ d_y(<f(x), g>) < ε.

Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji) Jeżeli
,
i x₀ jest punktem skupienia D_f ∩ D_h, to lim [f(x)±h(x)]=g±p, lim [f(x)*h(x)]=g*p, lim [f(x)/h(x)]=g/p (p ≠ 0)

Tw. (o granicy funkcji złożonej). Jeżeli
, przy czym g jest punktem skupienia zbioru f(X) i g nie należy do zbioru f(X-{x₀}), oraz
, to
.

granice niewłaściwe.

Def. (Heinego) Mówimy, że funkcja f posiada w punkcie x₀ granicę niewłaściwą +(-)∞ i piszemy
wtwg dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach ze zbioru D_f - {x₀} i zbieżnego do punktu x₀ ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do +(-)∞.

Def. (Cauchy)
⇔ ∀M ∃δ ∀x ∈ D_f 0 < d_x(<x, x₀>) < δ ⇒ f(x) <(>) M.

granice w nieskończoności

Def. (Heinego) Funkcja f posiada w +[-]∞ granicę g / granicę niewłaściwą -(+)∞, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do +[-]∞, ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g / rozbieżny do -(+)∞. Piszemy wtedy
.

Def. (Cauchy)

⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀x ∈ D_f x >[<] δ ⇒ (|f(x) - g| < ε)

⇔ ∀M ∃δ ∀x ∈ D_f x >[<] δ ⇒ f(x) <(>) M.

Nieskończenie małe.

Def. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą w danym przejściu granicznym, jeżeli lim f(x) = 0.

Def. Nieskończenie małe f(x) i h(x) nazywamy nieskończenie małymi tego samego rzędu w danym przejściu granicznym, jeżeli istnieje granica właściwa
.

Def. Z dwóch nieskończenie małych f(x) i h(x), f(x) nazywamy nieskończenie małą wyższego rzędu w danym przejściu granicznym, jeżeli
.

Def. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą rzędu n (n ∈ N), gdy x → x­₀, jeżeli funkcje: f(x) i (x-x₀)ⁿ są nieskończenie małymi tego samego rzędu, gdy x → x₀.

Def. Dwie nieskończenie małe f(x) i h(x) nazywamy równoważnymi w danym przejściu granicznym i piszemy f(x) ~ h(x), gdy
.

Def. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie wielką w danym przejściu granicznym, jeżeli lim |f(x)| = ∞.

Ciągłość funkcji liczbowych

Def. (Heinego) Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtwg dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach ze zbioru D_f i zbieżnego do punktu x₀ ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do punktu f(x₀).'

Tw. Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ będącym punktem skupienia dziedziny D_f wtwg

Def. (Cauchy'ego) Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtwg ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∈ D_f | x - x₀| < δ ⇒ | f(x) - f(x₀)| < ε.

Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła wtwg jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.

Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła na zbiorze A ⊂ D_f, A ≠ ∅, wtwg f|A jest funkcją ciągłą.

Def. Punkt x₀ ∈ D_f, w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości tej funkcji.

Własności funkcji ciągłych

Tw. 1. (o ciągłości funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale A ⊂ R, to f(A) jest przedziałem oraz funkcja f^-1 jest ciągła i rosnąca (albo odpowiednio malejąca) na przedziale f(A).

Tw. 2. (o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcja wewnętrzna f jest ciągła w punkcie x₀ i funkcja zewnętrzna h jest ciągła w punkcie u₀ = f(x₀), to funkcja złożona h°f jest ciągła w punkcie x₀.

Tw. 3. (o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej). Jeżeli istnieje granica właściwa
i funkcja h jest ciągła w punkcie u₀ = g, to
.

Tw. 4. (o lokalnym zachowaniu znaku) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ oraz f(x₀) > 0 albo f(x₀) < 0 to istnieje takie otoczenie Q punktu x₀, że dla każdego x ∈ Q∩D_f spełniona jest nierówność f(x) > 0 albo odpowiednio f(x) < 0.

Tw. (Weierstrassa) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a; b>, to

1. f jest ograniczona na przedziale <a; b>

2. istnieją takie liczby c₁, c_2­, że
   ,
   

Tw. (Cantora) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a; b>, to dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdych dwóch liczb x₁ i x₂ z tego przedziału, spełniających warunek |x₁ - x₂| < δ, spełniona jest nierówność |f(x₁) - f(x₂)| < ε.

Def. Funkcja f jest jednostajnie ciągła na przedziale X wtwg ∀ε>0 ∀x₁∈X ∃δ>0 ∀x₂∈X (|x₁ - x₂|) ⇒ (|f(x₁) - f(x₂)| < ε).

Tw. (Darboux) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a; b>, f(a) ≠ f(b) oraz liczba q jest zawarta między f(a) i f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), że f(c) = q.

Def. (war. Lipschitz) Funkcja f: X→ Y spełnia warunek Lipschitza jeżeli ∃L>0 ∀x₁, x₂ ∈ D ρ(f(x₁), f(x₂)) ≤ L d(x₁, x₂); L - stała Lipschitza.

Tw. (Cantor, Haine, Dini ?) Funkcja ciągła w dziedzinie zwartej jest ciągła jednostajnie.

Pochodna funkcji

Def. Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x₀ i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej jest to stosunek

Def. Granicę właściwą ilorazu różnicowego, gdy Δx → 0, nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy symbolem f'(x₀).

Różniczka funkcji

Tw. (o przedstawieniu przyrostu funkcji) jeżeli dziedzina funkcji f zawiera pewne otoczenie Q punktu x₀ oraz istnieje pochodna f'(x₀), to dla każdego przyrostu Δx takiego, że x₀ + Δx ∈ Q, przyrost funkcji) można przedstawić następująco Δf = f'(x₀) Δx + αΔx, przy czym α → 0, gdy Δx dąży do zera w dowolny sposób.

wniosek Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x₀, to jest w tym punkcie ciągła.

Def. Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie x₀, jeżeli jej przyrost Δf = f(x₀ + Δx) - f(x₀) można dla każdego Δx dostatecznie bliskiego zeru przedstawić w postaci Δf = AΔx + o(Δx), gdzie A jest stałą, a o(Δx) jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż Δx, gdy Δx → 0.

Def. Różniczką funkcji f w punkcie x₀ i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f'(x₀)Δx. Oznaczamy ją symbolem df(x₀), bądź też krótko df lub dy.

Obliczanie pochodnych

Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcja x = g(y) jest ściśle monotoniczna i posiada funkcję pochodną g'(y) ≠ 0, to funkcja y = f(x) odwrotna do niej posiada funkcję pochodną f'(x), przy czym
, gdzie y = f(x).

Tw. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja h ma pochodną w punkcie x, a funkcja f ma pochodną w punkcie u = h(x), to funkcja złożona f°g ma w punkcie x pochodną (f°g)'(x) = f'[h(x)]*f'(x).

Def. Pochodną logarytmiczną funkcji f nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego
.

Tw. (o pochodnej funkcji określonej parametrycznie) Jeżeli funkcja y - h(x) jest określona parametrycznie x = f(t), y = g(t), t ∈ (a; b), przy czym istnieją pochodne
, to istniej także pochodna
.

Twierdzenie Rolle'a

Tw. (Rolle'a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale <a; b>, różniczkowalna na przedziale (a; b) oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), że f'(c) = 0.

Twierdzenie l'Hospitala

Tw. (de l'Hospitala) Jeżeli:

1. dziedziny funkcji
   zawierają pewne sąsiedztwo S punktu x₀.

2. 
   albo
   

3. istnieje granica
   (właściwa albo niewłaściwa),

to istnieje także granica
, przy czym
.

Twierdzenie o przyrostach

Tw. (o przyrostach, Lagrange'a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym o końcach x₀ i x, oraz ma pierwszą pochodną wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między x₀ i x, że f(x) - f(x₀) = f'(c)(x - x₀).

Ekstremum funkcji

Def. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje taka liczba dodatnia δ, że dla każdego x ∈ S(x₀; δ) spełniona jest odpowiednio nierówność f(x) ≤ f(x₀) (albo f(x) ≥ f(x₀)). Dla nierówności mocnych otrzymamy maksimum i minimum właściwe

Tw. (Fermata) Jeżeli funkcja f ma w punkcie x₀ ekstremum i ma w tym punkcie pierwsza pochodną, to f'(x) = 0.

Twierdzenie i wzór Taylora

Tw. (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie na przedziale domkniętym, o końcach x₀ i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x₀ i x, że

Wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji. Punkt przegięcia.

Def. Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x₀, wtwg istnieje taka liczba r₁ > 0, że różnica y_A - y_B = f(x) - f(x₀) - f'(x₀)(x - x₀) jest dodatnia (ujemna) dla każdego x ∈ S(x₀, r₁).

Rachunek całkowy jednej zmiennej

Def. Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału <a; b> ciąg sum całkowych (σ_n) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów ξ_k, to tę granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale i oznaczamy symbolem:

Warunki R-całkowalności

Tw. Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, to jest funkcją ograniczoną na tym przedziale. (war. konieczny, ale nie wystarczający)

Tw. (o R-całkowalności funkcji ciągłej). Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest R-całkowalna na tym przedziale. (war. wystarczający, ale nie konieczny)

Def. Mówimy, że podzbiór A zbioru R jest miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje pokrycie zboru A takim ciągiem przedziałów otwartych, którego długość jest mniejsza od ε.

Tw. Każdy podzbiór przeliczalny zbioru R ma miarę zero.

Tw. Każdy podzbiór zbioru miary zero ma miarę zero.

Tw. (Lebesgue'a). Funkcja f ograniczona na przedziale <a; b> jest R-całkowalna na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór punktów nieciągłości funkcji f na przedziale <a; b> jest miary zero.

Tw. Funkcja monotoniczna na przedziale <a; b> jest R-całkowalna na tym przedziale.

Własności całki oznaczonej

Tw. 1. Jeżeli funkcje f i h są R-całkowalne na przedziale <a; b>, to:

1) funkcja g+h jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, przy czym

2) funkcja Af, gdzie A - dowolna stała, jest R-całkowalna na przedziale <a; b>:

Tw. 2. Jeśli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, to:

1) f² jest R-całkowalna na <a; b>

2) |f| jest R-całkowalna na <a; b>

Tw. 3. Jeżeli funkcje f i g są R-całkowalne na przedziale <a; b>, to funkcja f*g jest R-całkowalna na tym przedziale.

Tw. 4. Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na <a; b> i przedział <α; β> ⊂ <a; b>, to funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <α; β>, przy czym:

Tw. 5. Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b> i c ∈ (a; b), to

Tw. 6. Jeżeli ograniczona funkcja f jest ciągła na przedziale <a; b>, z wyjątkiem punktów zbioru A miary zero, i dla każdego x ∈ <a; b>-A funkcja f przyjmuje wartość zero, to

wniosek: Jeżeli dwie ograniczone funkcje f i h, z których jedna jest R-całkowalna na <a; b>, różnią się tylko na zbiorze skończonym, to druga z tych funkcji jest R-całkowalna i

Tw. 7. Jeżeli funkcje f i g są R-całkowalne na przedziale <a; b> i spełniają warunek:
to

wniosek: Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na <a; b> i ograniczona na <a; b> z góry liczbą M, z dołu zaś liczbą m, to

Tw. 8. (tw. całkowe o wartości średniej). Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale <a; b>, to istnieje taki punkt c ∈ <a; b>, że:

Tw. 9. Jeżeli f jest funkcją R-całkowalna na przedziale <a; b>, to

Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego

Tw. 1. Jeżeli f jest funkcją R-całkowalną na przedziale <α; β>, α zaś dowolnie ustaloną liczbą w tym przedziale, to funkcja F, określona wzorem
, jest ciągła w przedziale <a; b>.

Tw. (pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego). Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b> i α ∈ <a; b>, to funkcja F określnoa na tym przedziale wzorem:
ma pochodną F'(x) = f(x), czyli:

Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, jeżeli dla każdego x ∈ X spełniony jest warunek F'(x) = f(x) lub dF(x) = f(x)dx.

Jeżeli przedział X jest jedno- lub obustronnie domknięty, to pochodną F'(x) w każdym z należących do niego końców rozumiemy jako odpowiednią pochodną jednostronna.

Tw. (podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych). Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, to:

1. funkcja Φ = F + C, gdzie C oznacza dowolną funkcję stałą, jest także funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X,

2. każdą funkcję pierwotną Φ funkcji f na przedziale X można przedstawić w postaci sumy F + C₀, gdzie C₀ jest stosownie do Φ i F dobraną stała funkcją.

Def. Całką nieoznaczoną funkcji f: <a; b> → R nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych f, co oznaczmy
.

Tw. (o istnieniu funkcji pierwotnej). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale X, to posiada na tym przedziale funkcję pierwotną.

Tw. (drugie twierdzenie główne rachunku całkowego, tw. Newtona-Leibniza). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale <a; b>, F zaś jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f na tym przedziale, to

Tw. Całkowanie przez części Jeżeli funkcje u i v ma w pewnym przedziale ciągłe pochodne u' i v', to
na tym przedziale.

Całkowanie przez podstawienie

Tw. 1. (o całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). Jeżeli:

1. funkcja h jest różniczkowalna na przedziale X i przekształca go na przedział T,

2. funkcja g ma na przedziale T funkcję pierwotną G,

3. f = (g°h)*h' na przedziale X,

to:
na przedziale X.

Tw. 2. (o całkowaniu przez podstawienie x = ϕ(t)). Jeżeli:

1. funkcja ϕ jest różniczkowalna i różnowartościowa na przedziale T i przekształca go na przedział X,

2. funkcja f ma na przedziale X funkcję pierwotną F,

to prawdziwa jest na tym przedziale równość

Zastosowanie całki oznaczonej

pole pod wykresem

objętość bryły obrotowej

długość łuku

Całka niewłaściwa w przedziale nieskończonym

Def. Jeżeli funkcja f(z) jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale <a; T> dla każdego T > a oraz istnieje granica właściwa
, to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f(z) w przedziale od a do plus nieskończoności i oznaczamy symbolem
.

Jeżeli granica istnieje i jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f(z) w przedziale a do plus nieskończoności istnieje lub że jest zbieżna. Jeżeli granica nie istnieje, albo jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje lub że jest zbieżna.

Analogicznie dla minus nieskończoności i przedziału (-∞; +∞) (tu na dwie całki (-∞, 0>, i <0, ∞) ).

Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej

funkcja f(x) jest określona w przedziale <a, b):

Def. Jeżeli istnieje granica właściwa
to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f(z) w przedziale <a; b> (całka niewłaściwa drugiego rodzaju).

Def. Całkę niewłaściwą zbieżną drugiego rodzaju nazywamy bezwzględnie zbieżną, jeżeli jest zbieżna całka
.

Def. Całkę zbieżną nazywamy warunkowo zbieżną, jeżeli całka
jest rozbieżna.

Całki niewłaściwe zależne od parametru

Def. Całkę
nazywamy zbieżną w przedziale T jeżeli ∀ε>0 ∀t∈T ∃A₀≥a ∀A>A₀

Def. Całkę nazywamy jednostajnie zbieżną w przedziale T, jeżeli ∀ε>0 ∃A₀≥a ∀t∈T ∀A>A₀

Testy zbieżności całki niewłaściwej

Tw. (A. Cauchy) Jeżeli f: <a; +∞) → C jest lokalnie całkowlna, to równoważne są warunki:

1. całka niewłaściwa
   jest zbieżna

2. 
   → 0, α , β → ∞

Tw. (test porównawczy) Jeżeli

1. f: <a, +∞) → C jest lokalnie całkowalna

2. g: <a, +∞) → R, g ≥ 0,
   jest zbieżna

3. |f(x)| ≤ g(x) w <a, +∞)

jest zbieżna (bezwzględnie) oraz zachodzi oszacowanie
.

Tw. (Dirichlet) Jeżeli f: <a, +∞) → R jest ciągła i ma ograniczoną pochodną (tzn. ∀<a, α> ma F górnej granicy całkowania ograniczoną) i g: <a; +∞) → R jest klasy C¹ oraz g(x) maleje do zera, x → ∞ to całka niewłaściwa
jest zbieżna oraz zachodzi równość
.

Szeregi liczbowe i funkcyjne.

Szereg liczbowy

Def. Ciąg (S_n) sum
nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem

Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej lim S_n = S, natomiast rozbieżnym w wypadku przeciwnym. Granicę nazywamy sumą szeregu. Szereg zbieżny ma sumę, natomiast szereg rozbieżny nie ma sumy. Piszemy też

Def.

Def. Szereg
nazywamy sumą szeregów
i

Warunek konieczny zbieżność szeregu. Jeżeli szereg
jest zbieżny, to lim a_n = 0

Szereg Taylora

Tw. (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie na przedziale domkniętym o końcach x₀ i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x₀ i x, że
.

Jeżeli funkcja ma w pewnym otoczeniu Q punktu x₀ wsztstkie pochodne, to dla każdego x ∈ Q-{x₀} i każdego n ∈ N
, gdzie c jest liczbą z wnętrza przedziału o końcach x i x₀.

Jeżeli istnieje otoczenie Q₀, w którym
(R_n(x) - n-ta reszta wzoru Taylora), to
, dla każdego x ∈ Q₀.

Lemat. (o reszcie wzoru Taylora) Jeżeli istnieje taka liczba M > 0, że dla każdego x ∈ Q₀(x₀; δ) i dla każdego naturalnego na spełniona jest nierówność |f⁽ⁿ⁾(x)| ≤ M, to dla każdego x ∈ Q₀ spełnione jest
.

Twierdzenia Banacha (przestrzenie metryczne)

Def. Zbiór X nazywamy przestrzenią metryczną, jeżeli każdej parze (a, b) jego elementów jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba nieujemna ρ(a, b) taka, że:

1. ρ(a, b) = 0 ⇔ a = b

2. ρ(a, b) = ρ(b, a)

3. ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b)

Funkcję ρ(a, b), określoną na zbiorze wszystkich para punktów przestrzeni X, nazywamy metryką tej przestrzeni. Wartość funkcji ρ(a, b), czyli wartość metryki, nazywamy odległością punktu a od punktu b;

Lemat (Schwarza-Cauchy'ego) Dla każdych dwóch układów (u₁, u₂, ..., u_n) i (v₁, v₂, ..., v_n) n liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
. Nierówność tą nazywamy nierównością Schwarza-Cauchy'ego.

Def. (zbieżność w sensie metryki) Ciąg (x_n) punktów przestrzeni X nazywamy zbieżnym w tej przestrzeni, jeżeli istnieje taki punkt x ∈ X, że
. Piszemy wówczas
.

Def. Mówimy, że ciąg (x_n) punktów przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy'ego w sensie metryki ρ(a, b) tej przestrzeni, jeżeli dla każdej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba δ, że dla każdych dwóch liczba naturalnych r, s spełniających warunek min(r,s)>δ, spełniona jest nierówność ρ(x_r, x_s) < ε.

Lemat. Jeżeli ciąg (x_n) punktów przestrzeni metrycznej X jest zbieżny w tej przestrzeni, to spełnia warunek Cauchy'ego w sensie jej metryki.

Def. Ciąg podstawowy punktów przestrzeni metrycznej X jest to ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w sensie metryki tej przestrzeni.

Def. Przestrzeń zupełna jest to przestrzeń metryczna, w której jest zbieżny każdy ciąg podstawowy jej punktów.

Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli operacja A jest określona na punktach przestrzeni metrycznej i zupełnej X, przy czym:

1. jeżeli x ∈ X, to A(x) ∈ X,

2. istnieje taka liczba dodatnia α < 1, że dla każdego y ∈ X i dla każdego z ∈ X spełniona jest nierówność ρ[A(y), A(z)] ≤ α * ρ(y, z)

to w przestrzeni X istnieje dokładnie jeden punkt x_* spełniający równanie x = A(x); punkt x_* jest punktem granicznym ciągu kolejnych przybliżeń x_n+1 = A (x_n) , n = 0, 1, 2, ... , przy czym x₀ jest dowolnym punktem przestrzeni X.

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Zbiory w przestrzeni Rⁿ

Przestrzeń Rⁿ Zbiór wszystkich uporządkowanych układów (x₁, x₂, ..., x_n), n liczb rzeczywistych (n ≥ 1), nazywamy przestrzenią n-wymiarową Rⁿ. Układy (x₁, x₂, ..., x_n) nazywamy punktami przestrzeni Rⁿ, liczby x₁, x₂, ..., x_n - współrzędnymi prostokątnymi tych punktów.

Odległość d_AB punktów A(a₁, a₂, ..., a_n) i B(b₁, b₂, ..., b_n) przestrzeni Rⁿ jest określona wzorem:

Otoczenie i sąsiedztwo punktu. Niech r oznacza dowolną liczbę dodatnią.

Def. Otoczenie Q(P₀; r) punktu P₀(a₁, a₂, ..., a_n) o promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów P(x₁, x₂, ..., x_n), dla których:

Def. Sąsiedztwo S(P₀; r) punktu P₀(a₁, a₂, ..., a_n) o promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów P(x₁, x₂, ..., x_n), dla których:

Def. Zbiór Z ⊂ Rⁿ nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka liczba r > 0, że Z ⊂ Q(0; r), natomiast nieograniczonym, gdy liczba taka nie istnieje.

Def. Zbiór nazywamy skończonym, jeżeli należy do niego dokładnie n ∈ N punktów.

Def. Zbiór nazywamy nieskończonym, jeżeli nie jest ani pusty ani skończony.

Zbiory otwarte i domknięte.

Def. Punkt P ∈ Z nazywamy punktem wewnętrznym zbioru Z, jeżeli zbiór ten zawiera pewne otoczenie punktu P.

Def. Zbiór, którego każdy punkt jest punktem wewnętrznym, nazywamy zbiorem otwartym.

Def. Łuk zwykły w przestrzeni Rⁿ jest to zbiór wszystkich punktów P(x₁, x₂, ..., x_n) o współrzędnych x₁ = x₁(t), x₂ = x₂(t), ..., x_n = x_n(t), gdzie x­_i(t), i ∈ N, są to funkcje ciągłe, określone w przedziale <α; β>, przy czym różnym wartościom parametru t ∈ (α; β) odpowiadają różne punkty P.

Łuk zwykły nazywamy otwartym, jeżeli nie jest spełniona co najmniej jedna z równości x_i(α) = x_i(β), i ∈ N, natomiast zamkniętym lub zwykłą krzywą zamkniętą, jeżeli każda z tych równości jest spełniona.

Jeżeli funkcje x_i(t) mając ciągłe pochodne w przedziale <α; β> oraz
dla t ∈ <α; β> to łuk zwykły nazywamy gładkim (regularnym). Jeżeli natomiast przedział <α; β> można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów tak, żeby w każdym z nich oddzielnie funkcje x_i(t) miały ciągłe pochodne (na końcach - pochodne jednostronne) oraz spełniony był powyższy warunek , to łuk zwykły nazywamy kawałkami gładkim.

Def. Obszar jest to taki zbiór otwarty, którego każde dwa punkty można połączyć łukiem zwykłym (np. łamaną) całkowicie w nim zwartym.

Def. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru Z, jeżeli w każdym sąsiedztwie punktu P znajduje się punkt tego zbioru.

Def. Zbiór domknięty jest to zbiór, do którego należą wszystkie jego punkty skupienia. (F ⊂ X domknięty → dopełnienie jest zbiorem otwartym)

Def. Domknięcie A^- zbioru A to przekrój wszystkich zbiorów domkniętych A ⊂ F: A^- = ∩{ F | A ⊂ F ∧ F - domk.}

1. A^- jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawartym w A.

2. A jest domknięty ⇔ A = A^-

3. x ⊂ A^- ⇔ w dowolnym otoczeniu punktu x istnieją punkty zbioru A: ∀ε>0 A ∩K(x₀, ε)≠0.

Def. Podzbiór A ⊂ X nazywamy gęstym w X, jeżeli jego domknięcie jest identyczne z X, czyli A^- = X.

Def. Punkt P ∈ Z, który nie jest punktem skupienia zbioru nazywamy Z, nazywamy punktem osobliwym tego zbioru.

Def. Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru Z, jeżeli w każdym otoczeniu tego punktu znajduje się zarówno punkt zbioru Z jak i punkt, który do tego zbioru nie należy.

Def. Brzeg zbioru Z jest to zbiór wszystkich punktów brzegowych tego zbioru.

Zbiory jednospójne i wielospójne.

Def. Krzywa Jordana jest to zwykła krzywa zamknięta w przestrzeni R². Krzywa Jordana dzieli płaszczyznę na dwa obszary. Jeden z obszarów jest ograniczony i nazywamy go wnętrzem krzywej Jordana. Drugi z tych obszarów jest nieograniczony.

Def. Obszar w przestrzeni R² nazywamy jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej leżącej w nim krzywej Jordana. Obszar który nie jest jednosójny, nazywamy obszarem wielospójnym.

Jeżeli brzeg obszaru w przestrzeni R² składa się z rozłącznych krzywych Jordana, łuków zwykłych otwartych i punktów, to ich łączną liczbę n nazywamy rzędem spójności i obszar nazywamy n-spójnym.

Funkcje wielu zmiennych

Def. Funkcja n zmiennych x₁, x₂, ..., x­_n, określona w zbiorze Z ⊂ Rⁿ, jest to przyporządkowanie każdemu punktowi P(x₁, x₂, ..., x­_n) ∈ Z dokładnie jednej liczby z ∈ R. Piszemy przy tym: z = f (x₁, x₂, ..., x­_n) dla (x₁, x₂, ..., x­_n) ∈ Z lub z = f (P), P ∈ Z.

Def. Funkcję f(P) nazywamy ograniczoną w zbiorze Z, jeżeli istnieje tak liczba M, że dla każdego P ∈ Z spełniona jest nierówność | f(P) | ≤ M.

Granica i ciągłość funkcji

Granica funkcji n zmiennych.

Def. Mówimy, że ciąg punktów (P_k), k ∈ N, przestrzeni Rⁿ jest zbieżny do punku P₀ i piszemy P_k → P₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

Def. (Heinego) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(P) w punkcie P₀, jeżeli dla każdego ciągu punktów (P_k), P_k ∈ Z, P_k ≠ P₀, zbieżnego do P₀, ciąg (f(P_k)) jest zbieżny do g. Jeżeli liczba g jest granicą funkcji f(P) w punkcie P₀, to piszemy:
.

Def. (Cauchy)

Ciągłość funkcji n zmiennych.

Def. Funkcja f(P) jest ciągła w punkcie P₀ ⇔

Def. Funkcję f(P) nazywamy ciągłą w pewnym zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbiour.

Tw. (o loklanym zachowaniu znaku). Jeżeli funkcja f(P), określona w pewnym otoczeniu punktu P₀, jest w tym punkcje ciągła i f(P_o) >(<) 0, to istnieje takie sąsiedztwo S punktu P₀, że dla każdego punktu P ∈ S jest spełniona nierówność f(P) >(<) 0.

Tw. (o ograniczoności funkcji)l Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i okraniczonym
, to jest w tym obszarze ograniczona.

Tw. (Weierstrassa, o osiąganiu kresów) Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
, to istnieje taki punkt P₁ ∈
, że :
oraz istnieje taki punkt P₂ ∈
, że

Tw. (Cantora, o ciągłości jednostajnej) Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
, to dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla każdych dwóch punktów P₁ ∈
i P₂ ∈
, których odległość
spełnia warunek:
to spełniona jest nierówność |f(P₁) - f(P₂)| < ε.

Właściwości funkcji ciągłej w obszarze domkniętym i ograniczonym
, o której mówi powyższe twierdzenie, nazywamy jednostajną ciągłością.

Pochodne cząstkowe

Def. Granicę właściwą
nazywamy pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f(P) względem zmiennej x_i w punkcje P₀ i oznaczamy symbolem
.

Tw. (Schwarza) Jeżeli funkcja f(x₁, x₂, ..., x_n) ma w pewnym obszarze Ω ⊂ Rⁿ ciągłe pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego
to w każdym punkcie tego obszaru

---