Wektor jest to uporządkowana para punktów np. A i B. Nazywamy go inaczej odcinkiem skierowanym. Można wyróżnić początek i koniec. Jeśli początek i koniec pokrywają się to jest to wektor zerowy (punkt).

Wielkości opisujące wektor:

- kierunek wektora (linia po której działa wektor)

- zwrot to punkt końcowy wektora (strzałka)

- punkt przyłożenia (zaczepienia) – początek wektora

- długość wektora – odległość między końcem a początkiem

Długość wektora |AB|²=|AC|²+|BC|²

Wektor jednostkowy to taki który ma długość = 1. Nazywamy go wersorem.

Miara względna wektora na osi – to liczba równa długości wektora ze znakiem dodatnim jeśli wektor ma zwrot zgodny ze zwrotem osi, lub ujemnym w przeciwnym wypadku.

Różnica między wektorem swobodnym a zaczepionym jest taka, że dla wektora zaczepionego znamy jego albo początek, albo koniec, albo oba punkty.

Jeśli wektor jest dany w przestrzeni trójwymiarowej to wprowadzamy pojęcie cosinusów kierunkowych danego wektora w przestrzeni.

Kąt wektora między osią x a wektorem

Warunek na cosinusy kierunkowe danego wektora

Wektory przeciwne to takie które mają ten sam kierunek, tą samą długość ale zwrot przeciwny.

Działania na wektorach:

- dodawanie (dla 2 wektorów) - metoda równoległoboku:

- jest przemienne: a+b = b+a

- jest łączne: (a+b)+c = a+(b+c)

- dodawanie (więcej wektorów) – metoda wieloboku:

Zwrot wektora wypadkowego pokrywa się ze zwrotem ostatniego sumowanego wektora.

Wektory są sobie równe jeżeli mają takie same współrzędne.

Wektory są równoległe zachodzi proporcjonalność ich miar względem rzutów na odpowiednie osie. λ- współczynnik proporcjonalności

ILOCZYN SKALARY:

1) a◦b definujemy jako |a|*|b|* cosα

2) a◦b definujemy jako a_Xb_X+a_Yb_Y+a_Zb_Z

Własności iloczynu skalarnego:

- przemienny a◦b=b◦a,

- mnożenie przez liczbę: λ(a◦b) = (λa)◦b = a◦(λb),

- rozdzielność mnożenia względem dodawania: (a+b)◦c = a◦c + b◦c

- jeżeli a ⊥ b wówczas iloczyn skalarny =0, bo α=90, cos90=0 (warunek prostopadłości 2 wektorów)

- jeżeli a=a wówczas: a◦a = |a| * |a| * cos 0 = |a|*|a|=|a|²

Iloczynu skalarnego najczęściej używamy do określenia jaki jest trójkąt:

cos=(0-π/2) – ostrokątny, cos=π/2 – prostokątny, cos(π/2-π)-rozwartokątny

ILOCZYNEM WEKTOROWYM: dwóch wektorów a i b nazywamy trzeci wektor w, który jest prostopadły do płaszczyzny (opisanej przez wektory a i b). a × b=w – iloczyn wektorowy w spełnia następujące warunki:

- długość tego wektora = polu równoległoboku opisanego przez wektory a i b

P_RW=w=|a| * |b| * sin α

- jeśli a × b = w => a ⊥ w i b ⊥ w

- zwrot wektora w jest taki, że wektory a, b i w tworzą układ zorientowany zgodnie z przyjętym układem współrzędnych. (i,j,k)

UWAGA!!! Jeżeli wektory a i b są koilearne, współliniowe czyli równoległe to iloczyn wektorowy = 0, bo sin 0 = 0.

Własności iloczynu wektorowego:

- przemienność: (a × b) = - (b × a)

- mnożenie przez liczbę: k * a×b = k * (a×b)

- rozdzielność mnożenia względem dodawania: a × (b + c) = a × b * a × c

- a || b => a × b = 0

Wzór na obliczanie współrzędnych wektora w:

ILOCZYN MIESZANY a × b ◦ c = c ◦ (a × b)

Iloczyn mieszany 3 wektorów a,b,c nazywamy liczbę, którą otrzymamy, gdy pomnożymy iloczyn wektorowy przez ten trzeci wektor.

Obliczamy go korzystając z wyznacznika:

Moduł liczby iloczyny mieszanego 3 wektorów to objętość równoległościanu powstającego z trójki tych wektorów, a objętość czworościanu to * 1/6.

PROSTE – równania prostej:

1. postać ogólna Ax+By+C=0

Ax+By+C=0 => By= -Ax – C => y = -(A/B)x – C/B

l || k A₁=A₂ i B₁=B₂ l ⊥ k A₁= -B₂ i B₁=A₂

1. postać kierunkowa y=ax+b, gdzie a=tgα, a b-pkt. przecięcia z osią Y

l || k y=ax+c l ⊥ k a₂= -(1/a₁) => y= -(1/a_x)+b₂

1. postać odcinkowa:

Ax+By+C=0 => Ax+By= -C /: (-C) => x/(-C/A) + y/(-C/B)=1

1. postać parametryczna: x=x_o+at i y=y_o+bt

Równanie prostych przechodzących przez punkt: A=(x_o;y_o) y-y_o=a(x-x_o)

Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty: A=(x_o;y_o) i B=(x₁;y₁)

OKRĄG – zbiór punktów płaszczyzny równoodległych od ustalonego punktu, który nazywamy środkiem okręgu.

- równanie normalne (zwinięte) (x-a)²+(y-b)²=r²

- równanie rozwinięte x²+y²-2ax-2by+c=0

- postać równania okręgu (z

wyznacznika) A=(x₁;y₁)

B=(x₂;y₂) C=(x₃;y₃)

KOŁO – zbiór punktów ograniczony okręgiem wraz z okręgiem:

(x-a)²+(y-b)² ≤ r²

ELIPSA – zbiór punktów płaszczyzny, których suma odległości od 2 ustalonych punktów F₁ i F₂ (ogniska elipsy) jest wielkością stałą i równą 2a.

r₁+r₂=2a

2a – oś wielka elipsy, 2b – oś mała elipsy, 2c- ogniskowa elipsy

a²=b²+c² równanie wiążące oś małą, wielką i ogniskową elipsy.

Równanie elipsy x²/a² + y²/b² = 1

Mimośrut jest to stosunek podwójnej ogniskowej do podwójnej osi wielkiej.

e = 2c/2a = c/a , gdzie e ∈ (0,1)

Kierownica elipsy: x = ± (a/e) = ± (a/(c/a)) = ± a²/c

HIPERBOLA – zbiór punktów płaszczyzny dla których moduł różnicy odległości os 2 ustalonych punktów F₁ i F₂ jest stały równa się 2a (oś wielka).

|r₁-r₂|=2a. oś mała 2b oś urojona, oś duża 2a oś rzeczywista

Równanie hiperboli podstawowej y=a/x

a²+b²=c² równanie wiążące oś małą, wielką i ogniskową elipsy.

Równanie hiperboli x²/a² - y²/b² = 1

Mimośrut jest to stosunek podwójnej ogniskowej do podwójnej osi wielkiej.

e = 2c/2a = c/a , gdzie e > 1

Kierownica hiperboli: x = ± (a/e) = ± (a/(c/a)) = ± a²/c

Jeśli a=b to hiperbole nazywamy współosiową.

Hiperbola sprzężona z daną hiperbolą ma równanie: -(x²/a)² + y²/b² = 1

PARABOLA – zbiór punktów płaszczyzny równoodległych od stałego punktu F (ognisko F=(1/2)p)) i od stałej prostej x=(-1/2)p (kierownica paraboli).

parabola y=ax² ; p=(-b/2a) ; q=(-Δ/4a) => y= a(x-p)² + q

wzór paraboli y²=2px.

Mimośrut równa się 1 czyli e=1

PŁASZCZYZNA – równanie ogólne płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0, gdzie

D = [-x_oA – y_oB – z_oC]

- równanie odcinkowe płaszczyzny

Postać płaszczyzny

Postać normalna płaszczyzny:

Ax+By+Cz+D=0 /*k ,gdzie

ρ = 1 gdy D < 0 i ρ = -1 gdy D > 0

długość odcinka poprowadzonego z początku ukł. Współrzędnych:

x cosα + y cosβ + z cosγ – p = 0 , p > 0