MODEL MATEMATYCZNY UKŁADU - układ równań różniczkowych 
, x = f (t, x, u), x(t0) = x0, który otrzymuje się przez stosowanie odpowiednich praw fizyki do określonego obiektu.
MATEMATYCZNA TEORIA STEROWANIA I JEJ ZASTOSOWANIE.
TEORIA STEROWANIA - nauka zajmująca się badaniem (analizą i syntezą) t.zw. procesów sterowanych a więc takich, na których przebieg (ewolucję) możemy celowo wpływać albo oddziaływać czyli sterować.
UKŁAD (SYSTEM, OBIEKT) - umownie wyodrębniony ze środowiska układ fizyczny bądź jego część. Wielkości charakteryzujące oddziaływanie środowiska na wyodrębniony układ to wielkości wejściowe. Wejścia dzielą się na; sterujące (sterowania) - wejścia zmieniane celowo, zakłócające - wielkości podlegające zmianom przypadkowym (losowym).
U(t) - wielkości sterujące
Z(t) - wielkości zakłócające
Wielkości charakteryzujące oddziaływanie układu na środowisko - (wielkości oddziałujące na środowisko) to wielkości wyjściowe (wyjścia).
STAN UKŁADU - zbiór wielkości (najmniejszy zbiór) x1(t), x2(t), x3(t), ... , xn(t), którego znajomość w chwili t0 oraz znajomość wejść przedziałów (t0, t pozwala wyznaczyć stan i odpowiedzi (wyjścia) układu w chwili t, przy założeniu że t>t0.
MODEL MATEMATYCZNY UKŁADU - układ równań różniczkowych
, x = f (t, x, u), x(t0) = x0, który otrzymuje się przez stosowanie odpowiednich praw fizyki do określonego obiektu.
Równania stanu:
= 
i = 1, 2, 3, .... , n
= f1(t1, x1....xn , u1....un) x1(t0) = x1
= f2(t1, x1....xn , u1....un) x2(t0) = x2
. . Układ równań różniczkowych w postaci normalnej.
= fn(t1, x1....xn , u1....un) xn(t0) = xn
„Teoria sterowania”, tom 2, Kaczmarek.
GŁÓWNE CECHY SYSTEMU STEROWANIA.
IDENTYFIKACJA MODELU - proces zajmujący się problemami wyznaczania wartości parametrów modeli matematycznych oraz oceną ich adekwatności w stosunku do modelowego procesu.
Podstawowe typy sterowań to:
U = U(t) - sterowanie w obwodzie otwartym - OPEN LOOP CONTROL
U = U(t, x) - sterowanie w obwodzie zamkniętym - CLOSE LOOP CONTROL, FEEDBACK
U = U(t, y) - sterowanie od wyjścia - OUTPUT FEEDBACK, (od wejścia - STATE FEEDBACK)
STEROWANIE W OBWODZIE OTWARTYM.
U(t) UKŁAD Y(t)
x = f(x, t, u)
STEROWANIE W OBWODZIE ZAMKNIĘTYM.
Zmienne sterowanie Wyjścia Yi (i = 1,2,3...n)
Urzędzenie System sterowany
sterujące Zmienne stanu
i = 1,2,3...n
Sprzężenie zwrotne Urządzenie
pomiarowe
TRAJEKTORIA „RUCHU” sys. (przebiegu procesu) xn = {x(t): t∈<t0, u = u(t), x(t0) = x0}, opisuje ewolucję (przebieg zmian) stanu systemu (procesu) w czasie.
Przykład układu sterowania.
Kinematyczny model ruchu statku w obszarze z prądem (statek jest traktowany jako punkt bez masy)
Problem Zermello
x1
V (x1k, x2k)
Vx1
Vx2 
= 
Vx1=VcosU
x0 = (x1, x2) 
= 
Vx2=VsinU
Ψ = Ψ(t), U = Ψ - sterowanie, t0 = 0
x1(t) = V
= V(t - 0) + C = Vt + C
Dołączenie prądu:
Vpr =
x1 = VcosΨ + ϕ1(x1, x2)
x2 = VsinΨ + ϕ2(x1, x2)
Kryterium jakości sterowania.
Jeżeli wprowadzimy wskaźnik jakości tk
J(U) = tk - t0 = 
⇒ minimum
Problem Zermello jako problem sterowania optymalnego. Wyznaczyć program sterowania tak aby przejść z punktu x0 do punktu xk minimalizując kryterium J czyli w jak najkrótszym czasie.
MODEL NOMOTO dynamiki statku (jego ruchu).
T
(t) + 
(t) = K
(t)
(t) - odchylenie od kursu zadanego
(t) - wychylenie płetwy sterowej
(t) <
max - maksymalne wychylenie steru
T
(t) + 
(t) = K
(t)
(t) + 
(t) = 
(t)
Równanie stanu:
x = 
- wektor stanu
A i B - postacie macierzowe
(t)
L - długość statku
Δ- wyporność statku
V - szybkość statku
Ar - powierzchnia płetwy sterowej
C - współczynnik = 0.45
PROBLEM WYBORU KRYTERIUM KWADRATOWEGO (średniokwadratowego).
Parametr T, a więc i 
zmienia się wraz z załadowaniem, przegłębieniem, prędkością statku. Może zmieniać znak zależnie od warunków pływania.
J(u) = 
⇒ minimalizacja 
(t) System
sterowania r
Sumator k1
k2
Problem sterowania - jak znaleźć 
jako funkcję 
i r (stanu) , 
(
, r) tak aby zminimalizować tę całkę (to kryterium).
x = Ax + Bu , 
L - długość statku
V - wyporność statku
V - szybkość statku
Ar - powierzchnia płetwy sterowej
C - współczynnik = 0.45
J(u) = 
