Zbieżność całek
∫
∞
≤
>
a
p
p
dla
rozbiezna
p
dla
zbiezna
jest
x
dx
1
1
∫
≥
<
b
p
p
dla
rozbiezna
p
dla
zbiezna
jest
x
dx
0
1
1
Kryterium d’Alemberta
1. Jeżeli
1
lim
1
<
+
∞
→
n
n
n
a
a
, to jest zbieżny.
Kryterium Cauchy’ego
1. Jeżeli
1
lim
<
∞
→
n
n
n
a
, to jest zbieżny.
SZEREGI POTĘGOWE
n
n
n
c
R
1
lim
∞
→
=
lub
1
lim
+
∞
→
=
n
n
n
c
c
R
Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych
C
By
Ax
z
+
+
=
- płaszczyzna przechodząca przez
(0,0,C).
)
(
2
2
y
x
a
z
+
=
- paraboloida obrotowa powstała
z obrotu paraboli z=ax
2
wokół osi Oz.
2
2
y
x
k
z
+
=
- stożek, powstały z obrotu
półprostej z=kx wokół osi Oz.
)
(
2
2
2
y
x
R
z
+
−
±
=
- górna (+) lub dolna (-)
półsfera o środku w początku układu
współrzędnych.
2
2
y
x
z
−
=
- siodło.
Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu
funkcji w punkcie (x
0
, y
0
, z
0
)
)
)(
,
(
)
)(
,
(
0
0
0
0
0
0
0
y
y
y
x
y
f
x
x
y
x
x
f
z
z
−
∂
∂
+
−
∂
∂
=
−
Różniczka funkcji
y
y
x
y
f
x
y
x
x
f
y
x
y
x
df
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
∆
)
,
(
)
,
(
)
,
)(
,
(
0
0
0
0
0
0
Gradient funkcji:
∂
∂
∂
∂
=
)
,
(
),
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
y
x
y
f
y
x
x
f
y
x
gradf
Wzór do obliczania pochodnej kierunkowej:
v
y
x
gradf
y
x
v
f
°
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
=
∂
∂
, v – wersor
Wartość średnia funkcji na obszarze:
∫∫
=
D
śr
dxdy
y
x
f
D
f
)
,
(
1
ϕ
ρ
ϕ
ρ
sin
,
cos
=
=
y
x
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z=d(x,y) i z=g(x,y):
[
]
∫∫
−
=
D
dxdy
y
x
d
y
x
g
V
)
,
(
)
,
(
Pole płata który jest wykresem funkcji z=f(x,y)
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
=
Σ
D
dxdy
y
f
x
f
2
2
1
Zastosowania w fizyce:
1. Masa obszaru D o gęstości powierzchniowej
masy
σ
:
∫∫
=
D
dxdy
y
x
M
)
,
(
σ
2. Momenty statyczne względem osi OX i OY
obszaru D o gęstości masy
σ
:
∫∫
∫∫
=
=
D
Y
D
X
dxdy
y
x
x
MS
dxdy
y
x
y
MS
)
,
(
,
)
,
(
σ
σ
3. Współrzędne środka masy obszaru D o gęstości
pow. masy
σ
:
M
MS
y
M
MS
x
X
C
Y
C
=
=
,
4. Momenty bezwładności względem osi OX, OY i
punktu O:
∫∫
∫∫
=
=
D
Y
D
X
dxdy
y
x
x
I
dxdy
y
x
y
I
)
,
(
,
)
,
(
2
2
σ
σ
∫∫
+
=
D
dxdy
y
x
y
x
I
)
,
(
)
(
2
2
0
σ
Współrzędne walcowe w całce potrójnej
∫∫∫
∫∫∫
=
D
U
d
dhd
h
f
dxdydz
z
y
x
f
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
)
,
sin
,
cos
(
)
,
,
(
Współrzędne sferyczne w całce potrójnej
∫∫∫
∫∫∫
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
=
=
U
D
d
d
d
f
dxdydz
z
y
x
f
ϕ
ρ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
cos
)
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
(
)
,
,
(
2
Moment bezwładności względem początku
układu współrzędnych obszaru V:
∫∫∫
+
+
=
V
dxdydz
z
y
x
z
y
x
I
)
,
,
(
)
(
2
2
2
0
γ
Szeregi Maclaurina niektórych funkcji
elementarnych
1
|
|
...
1
1
1
3
2
0
<
+
+
+
+
=
=
−
∑
∞
=
x
dla
x
x
x
x
x
n
n
R
x
dla
x
x
x
n
x
e
n
n
x
∈
+
+
+
+
=
=
∑
∞
=
...
!
3
!
2
!
1
1
!
3
2
0
R
x
dla
x
x
x
x
x
n
x
n
n
n
∈
+
−
+
−
=
+
−
=
∑
∞
=
+
...
!7
!5
!3
)!
1
2
(
)1
(
sin
7
5
3
0
1
2
R
x
dla
x
x
x
x
n
x
n
n
n
∈
+
−
+
−
=
−
=
∑
∞
=
...
!
6
!
4
!
2
1
)!
2
(
)
1
(
cos
6
4
2
0
2
1
1
...
7
5
3
1
2
)
1
(
ctg
7
5
3
0
1
2
≤
<
−
+
−
+
−
=
+
−
=
∑
∞
=
+
x
dla
x
x
x
x
x
n
x
ar
n
n
n
R
x
dla
x
x
x
x
n
x
shx
n
n
∈
+
+
+
+
=
+
=
∑
∞
=
+
...
!
7
!
5
!
3
)!
1
2
(
7
5
3
0
1
2
R
x
dla
x
x
x
n
x
chx
n
n
∈
+
+
+
+
=
=
∑
∞
=
...
!
6
!
4
!
2
1
)!
2
(
6
4
2
0
2
Sumy ważniejszych szeregów potęgowych
∑
∞
=
−
=
0
1
1
n
n
x
x
∑
∞
=
−
−
=
1
)
1
ln(
n
n
x
n
x
∑
∞
=
−
=
1
2
)
1
(
n
n
x
x
nx
∑
∞
=
−
−
+
=
+
1
)
1
ln(
1
1
)1
(
n
n
x
x
x
n
n
x
∑
∞
=
−
−
+
=
1
3
1
2
)
1
(
1
n
n
x
x
x
n
∑
∞
=
−
−
+
=
−
1
1
2
1
1
ln
2
1
1
2
n
n
x
x
n
x
Sumy ważniejszych szeregów
∑
∞
=
=
+
1
1
)
1
(
1
n
n
n
∑
∞
=
=
1
2
2
6
1
n
n
π
∑
∞
=
=
1
!
1
n
e
n
∑
∞
=
=
−
1
1
!
)
1
(
n
n
e
n
∑
∞
=
+
=
−
1
1
2
ln
)
1
(
n
n
n
∑
∞
=
+
=
−
−
1
1
4
1
2
)1
(
n
n
n
π