Zbieżność całek

∫

∞







≤

>

a

p

p

dla

rozbiezna

p

dla

zbiezna

jest

x

dx

1

1

∫







≥

<

b

p

p

dla

rozbiezna

p

dla

zbiezna

jest

x

dx

0

1

1

Kryterium d’Alemberta

1. Jeżeli

1

lim

1

<

+

∞

→

n

n

n

a

a

, to jest zbieżny.

Kryterium Cauchy’ego
1. Jeżeli

1

lim

<

∞

→

n

n

n

a

, to jest zbieżny.

SZEREGI POTĘGOWE

n

n

n

c

R

1

lim

∞

→

=

lub

1

lim

+

∞

→

=

n

n

n

c

c

R

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych

C

By

Ax

z

+

+

=

- płaszczyzna przechodząca przez

(0,0,C).

)

(

2

2

y

x

a

z

+

=

- paraboloida obrotowa powstała

z obrotu paraboli z=ax

2

wokół osi Oz.

2

2

y

x

k

z

+

=

- stożek, powstały z obrotu

półprostej z=kx wokół osi Oz.

)

(

2

2

2

y

x

R

z

+

−

±

=

- górna (+) lub dolna (-)

półsfera o środku w początku układu
współrzędnych.

2

2

y

x

z

−

=

- siodło.

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu
funkcji w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

)

)

)(

,

(

)

)(

,

(

0

0

0

0

0

0

0

y

y

y

x

y

f

x

x

y

x

x

f

z

z

−

∂

∂

+

−

∂

∂

=

−

Różniczka funkcji

y

y

x

y

f

x

y

x

x

f

y

x

y

x

df

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

∆

)

,

(

)

,

(

)

,

)(

,

(

0

0

0

0

0

0

Gradient funkcji:













∂

∂

∂

∂

=

)

,

(

),

,

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

y

x

y

f

y

x

x

f

y

x

gradf

Wzór do obliczania pochodnej kierunkowej:

v

y

x

gradf

y

x

v

f



°



)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

=

∂

∂

, v – wersor

Wartość średnia funkcji na obszarze:

∫∫

=

D

śr

dxdy

y

x

f

D

f

)

,

(

1

ϕ

ρ

ϕ

ρ

sin

,

cos

=

=

y

x

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z=d(x,y) i z=g(x,y):

[

]

∫∫

−

=

D

dxdy

y

x

d

y

x

g

V

)

,

(

)

,

(

Pole płata który jest wykresem funkcji z=f(x,y)

∫∫









∂

∂

+













∂

∂

+

=

Σ

D

dxdy

y

f

x

f

2

2

1

Zastosowania w fizyce:
1. Masa obszaru D o gęstości powierzchniowej
masy

σ

:

∫∫

=

D

dxdy

y

x

M

)

,

(

σ

2. Momenty statyczne względem osi OX i OY
obszaru D o gęstości masy

σ

:

∫∫

∫∫

=

=

D

Y

D

X

dxdy

y

x

x

MS

dxdy

y

x

y

MS

)

,

(

,

)

,

(

σ

σ

3. Współrzędne środka masy obszaru D o gęstości
pow. masy

σ

:

M

MS

y

M

MS

x

X

C

Y

C

=

=

,

4. Momenty bezwładności względem osi OX, OY i
punktu O:

∫∫

∫∫

=

=

D

Y

D

X

dxdy

y

x

x

I

dxdy

y

x

y

I

)

,

(

,

)

,

(

2

2

σ

σ

∫∫

+

=

D

dxdy

y

x

y

x

I

)

,

(

)

(

2

2

0

σ

Współrzędne walcowe w całce potrójnej

∫∫∫

∫∫∫

=

D

U

d

dhd

h

f

dxdydz

z

y

x

f

ϕ

ρ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

)

,

sin

,

cos

(

)

,

,

(

Współrzędne sferyczne w całce potrójnej

∫∫∫

∫∫∫

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

=

=

U

D

d

d

d

f

dxdydz

z

y

x

f

ϕ

ρ

ρ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

cos

)

sin

,

cos

sin

,

cos

cos

(

)

,

,

(

2

Moment bezwładności względem początku
układu współrzędnych obszaru V:

∫∫∫

+

+

=

V

dxdydz

z

y

x

z

y

x

I

)

,

,

(

)

(

2

2

2

0

γ

Szeregi Maclaurina niektórych funkcji
elementarnych

1

|

|

...

1

1

1

3

2

0

<

+

+

+

+

=

=

−

∑

∞

=

x

dla

x

x

x

x

x

n

n

R

x

dla

x

x

x

n

x

e

n

n

x

∈

+

+

+

+

=

=

∑

∞

=

...

!

3

!

2

!

1

1

!

3

2

0

R

x

dla

x

x

x

x

x

n

x

n

n

n

∈

+

−

+

−

=

+

−

=

∑

∞

=

+

...

!7

!5

!3

)!

1

2

(

)1

(

sin

7

5

3

0

1

2

R

x

dla

x

x

x

x

n

x

n

n

n

∈

+

−

+

−

=

−

=

∑

∞

=

...

!

6

!

4

!

2

1

)!

2

(

)

1

(

cos

6

4

2

0

2

1

1

...

7

5

3

1

2

)

1

(

ctg

7

5

3

0

1

2

≤

<

−

+

−

+

−

=

+

−

=

∑

∞

=

+

x

dla

x

x

x

x

x

n

x

ar

n

n

n

R

x

dla

x

x

x

x

n

x

shx

n

n

∈

+

+

+

+

=

+

=

∑

∞

=

+

...

!

7

!

5

!

3

)!

1

2

(

7

5

3

0

1

2

R

x

dla

x

x

x

n

x

chx

n

n

∈

+

+

+

+

=

=

∑

∞

=

...

!

6

!

4

!

2

1

)!

2

(

6

4

2

0

2

Sumy ważniejszych szeregów potęgowych

∑

∞

=

−

=

0

1

1

n

n

x

x

∑

∞

=

−

−

=

1

)

1

ln(

n

n

x

n

x

∑

∞

=

−

=

1

2

)

1

(

n

n

x

x

nx

∑

∞

=

−

−

+

=

+

1

)

1

ln(

1

1

)1

(

n

n

x

x

x

n

n

x

∑

∞

=

−

−

+

=

1

3

1

2

)

1

(

1

n

n

x

x

x

n

∑

∞

=

−

−

+

=

−

1

1

2

1

1

ln

2

1

1

2

n

n

x

x

n

x

Sumy ważniejszych szeregów

∑

∞

=

=

+

1

1

)

1

(

1

n

n

n

∑

∞

=

=

1

2

2

6

1

n

n

π

∑

∞

=

=

1

!

1

n

e

n

∑

∞

=

=

−

1

1

!

)

1

(

n

n

e

n

∑

∞

=

+

=

−

1

1

2

ln

)

1

(

n

n

n

∑

∞

=

+

=

−

−

1

1

4

1

2

)1

(

n

n

n

π