Macierze - ściąga, Analiza matematyczna


Def. 3.3.1 (wyznacznik macierzy)

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A = [aij] przypi­suje liczbę rzeczywistą (zespoloną) detA. Funkcja ta jest określona wzorem indukcyjnym:

1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to

0x01 graphic
,

2. jeżeli macierz A ma stopień n ≥ 2, to

0x01 graphic

gdzie Aij oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Uwaga. Wyznacznik macierz A oznaczamy także przez det[aij] lub |A|, a w formie rozwiniętej przez

.

Fakt 3.3.3 (interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)

Niech D oznacza równoległobok rozpięty na wektorach 0x01 graphic
, 0x01 graphic
Pole |D| tego równoległoboku wyraża się wzorem:

0x01 graphic
.

Niech V oznacza równoległościan rozpięty na wektorach 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
Objętość |V| tego równoległościanu wyraża się wzorem:

0x01 graphic
.

Def. 3.3.4 (dopełnienie algebraiczne)

Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n ≥ 2. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczbę:

0x01 graphic
,

gdzie Aij oznacza macierz stopnia n - 1 powstałą przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A.

Tw. 3.3.5 (rozwinięcia Laplace'a wyznacznika)

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n ≥ 2 oraz niech liczby 1 ≤ i, j ≤ n będą ustalone. Wtedy wyznacznik macierzy A można obliczyć ze wzorów:

1. 0x01 graphic
.

Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów i-tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace'a wyznacznika względem i-tego wiersza.

2. 0x01 graphic
.

Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów j-tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace'a wyznacznika względem j-tej kilumny.

Uwaga. Dla ustalonych liczb 1 ≤ r, s ≤ n, gdzie r ≠ s, prawdziwe są wzory:

0x01 graphic
.

Inaczej mówiąc, suma iloczynów elementów dowolnego wiersza i dopełnień algebraicznych elementów innego wiersza jest równa 0. Podobnie, suma iloczynów dowolnej kolumny i odpowiadających im dopełniń algebraicznych innej kolumny jest równa 0.

Def. 3.4.3 (wyznacznik macierzy)

Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę detA określoną wzorem:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, a sumowanie obejmuje wszystkie (tj. n!) permutacje n-elementowe.

Uwaga. Obie definicje wyznacznika, indukcyjna i permutacyjna, są równoważne.

Def. 3.6.1 (macierz odwrotna)

Niech A będzie macierzą stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz B spełniającą warunek:

AB = BA = In ,

gdzie In oznacza macierz jednostkową stopnia n. macierz odwrotną do macierzy A oznaczamy przez A-1.

Uwaga. Jeżeli macierz A ma macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną i wówczas detA ≠ 0. Macierz odwrotna do danej macierzy jest określona jednoznacznie.

Def. 3.6.2 (macierz osobliwa i nieosobliwa)

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy

0x01 graphic
.W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.

Fakt 3.6.3 (warunek odwracalności macierzy)

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.

Tw. 3.6.4 (o postaci macierzy odwrotnej)

Niech macierz A = [aij] stopnia n będzie nieosobliwa. Wtedy

0x01 graphic
,

gdzie Dij oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy A.

Uwaga. Dla macierzy nieosobliwej 0x01 graphic
wzór na macierz odwrotną ma postać:

0x01 graphic
.

Fakt 3.6.5 (własności macierzy odwrotnych)

Niech macierze A i B tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech α ∈ C\{0}. Wtedy macierze A-1, AT, AB, αA także są odwracalne i prawdziwe są równości:

1. 0x01 graphic

2. 0x01 graphic

3. 0x01 graphic

4. 0x01 graphic

5. 0x01 graphic

Fakt 3.7.1 (algorytm Gaussa)

Niech A będzie macierzą stopnia n ≥ 2 o wyznaczniku różnym od zera. Macierz tę można przekształcić do macierzy jednostkowej In wykonując na jej wierszach następujące operacje elementarne:

zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy,

mnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera,

dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolną liczbę.

Macierz jednostkową uzyskamy w dwóch krokach:

I krok. Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej przekątnej postaci:

0x01 graphic

Operacje elementarne wykonujemy tak, aby kolejne kolumny macierzy A uzyskały przedstawioną powyżej postać. Przekształcenia zaczynamy od uzyskania odpowiedniej postaci pierwszej kolumny. Jeżeli a11 ≠ 0, to wiersze w1, w2, …, wn macierzy A przekształacamy kolejno na wiersze 0x01 graphic
według wzorów:

0x01 graphic
.

Jeżeli natomiast a11 = 0, to wiersze macierzy A przestawiamy tak, aby w jej lewym górnym rogu znalazł się element niezerowy i dalej wykonujemy wymienione wcześniej operacje.

Kolejne kolumny z jedynkami na przekątnej i zerami poniżej przekątnej uzyskujemy stosując przedstawione wyżej postępowa­nie do macierzy coraz niższych stopni, począwszy od stopnia n - 1 aż do stopnia 1 włącznie.

II krok. Otrzymanie macierzy jednostkowej postaci:

0x01 graphic

Wiersze 0x01 graphic
otrzymanej macierzy trójkątnej przekształcamy kolejno na wiersze 0x01 graphic
macierzy jednost­kowej w następujący sposób:0x01 graphic
.

Def. 4.1.1 (układ równań liniowych, rozwiązanie układu równań)

Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …, xn, gdzie m, n ∈ N, nazywamy układ równań postaci:

0x01 graphic
,

gdzie aij ∈ R, bi ∈ R dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdy ciąg (x1, x2, …, xn) n liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań, który nie ma rozwiązań nazywamy układem sprzecznym.

Uwaga. Powyższy układ równanń liniowych można zapisać w postaci macierzowej:

AX = B,

gdzie

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań liniowych, macierz X macierzą (kolumną) niewiadomych, a B macierzą (kolumną) wyrazów wolnych. Rozważa się także układy równań liniowych, w których macierze A, X oraz B są zespolone. W przypadku „małej liczby” niewiadomych będziemy je oznaczać literami x, y, z, t, u, v, w.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Geometria analityczna - ściąga, Analiza matematyczna
Twierdzenie Cauchy’ego - ściąga, Analiza matematyczna
sciaga analiza, MATEMATYKA(1)
Analiza matematyczna 2 - ściąga, Analiza matematyczna studia, analiza matematyczna, analiza matematy
Analiza matematyczna 2 ściąga
sciaga kolo1 analiza fin, WTD, analiza matematyczna
ANALIZA MATEMATYCZNA - ściąga, Edukacja, Analiza matematyczna
Analiza matematyczna Teoria sciaga
ANALIZA MATEMATYCZNA sciaga kolo 2
analiza sciaga, studia, Matma, Analiza Matematyczna, analiza, Ściągi
Sciaga Macierz-odwrotna, studia, matematyka
Analiza matematyczna, Analiza matematyczna - wykład, Ściąga z wykładów
sciaga analiza fin, WTD, analiza matematyczna
6643194-sciaga-calki, Studia, Matematyka, Analiza Matematyczna
analiza sciaga, PWR- IŚ, Rok 1, Matematyka, Analiza matematyczna 2.2B
AMwyklady sciaga, WAT, semestr I, Analiza Matematyczna
analiza 2kolo sciaga juz zmniejszona, WTD, analiza matematyczna

więcej podobnych podstron