Wykład #2

Rzuty Monge'a cz.2

Odwzorowanie prostej

1. obraz prostej dowolnie ustawionej

Przez dwa dowolne punkty przechodzi tylko jedna prosta. Przez prostą poprowadźmy płaszczyznę  ₁ prostopadłą do rzutni poziomej -  ₁ oraz płaszczyznę  ₂ prostopadłą do rzutni pionowej -  ₂

Płaszczyzny te rzucają prostą na obie rzutnie, a ich krawędzie nazywamy rzutem poziomym i pionowym prostej.

2.odbudowa prostej

jeżeli płaszczyzny  ₁  ₂ są różne wyznaczają one prostą jednoznacznie. Prosta jest krawędzią przecięcia obu płaszczyzn.

Wyjątkiem jest usytuowanie płaszczyzn prostopadle do osi x. Wtedy położenie prostej jest niejednoznaczne i musi ona być zdefiniowana przy pomocy rzutów dwóch punktów lub trzeciego rzutu prostej.

Dwa rzuty prostej p nie prostopadłe do osi rzutów określają ją jednoznacznie tzn. każdej prostej p nie prostopadłej do x można przyporządkować jednoznacznie dwa jej prostokątne rzuty i na odwrót każdej parze rzutów nie prostopadłej do x₁₂ odpowiada dokładnie jedna prosta.

Rzuty dwóch różnych punktów prostej określają jednoznacznie jej położenie.

Szczególne przypadki położenia prostej

Proste równoległe do układu odniesienia

1.prosta pozioma

a II  ₁

2.prosta czołowa

b II  ₂

3.prosta .równoległa do x

c II x

Sczególne przypadki położenia prostej cd.

Proste prostopadłe do układu odniesienia

4.prosta pionowa

d  

5.prosta celowa

e   ₂

6.prosta .prostopadła do osi x

f  x

Proste leżące na rzutni

Proste mogą znajdować się na rzutniach pionowej i poziomej przed lub za osią x. Wtedy ich rzuty przyjmują położenia odpowiednio jak na rys.2.11

 Wzajemne położenie pary prostych

1.para prostych przecinających się w punkcie właściwym - tworzą płaszczyznę

2.para prostych równoległych - tworzą płaszczyznę

 3.proste skośne - nie przecinają się i nie tworzą płaszczyzny

Charakterystyczną cechą prostych skośnych jest fakt, że przecięcia rzutów prostych nie leżą na wspólnej odnoszącej.

Odwzorowanie płaszczyzny

Odwzorowanie płaszczyzny dowolnie ustawionej względem rzutni

Równoważne sposoby określania płaszczyzny

1.trzy punkty nie leżące na jednej prostej

 2.prosta i punkt

3.para prostych przecinających się w punkcie właściwym

4.para prostych równoległych

Szczególne ustawienia płaszczyzn

Płaszczyzny równoległe do układu odniesienia

1.płaszczyzna pozioma (rys.2.19)

 II  ₁

2.płaszczyzna czołowa (rys.2.20)

 II  ₂

 3. płaszczyzna równoległa do osi x (rys.2.21)

 II x

Płaszczyzny prostopadłe do układu odniesienia

4. płaszczyzna poziomo- rzutująca (rys.2.22)

   ₁

5. płaszczyzna pionowo- rzutująca

   ₂

6. płaszczyzna prostopadła do osi x

  x

Przynależność elementów

1.Punkt leży na prostej jeżeli odpowiednie rzuty leżą na rzucie prostej

UWAGA! Wyjątek stanowi prosta prostopadła do osi x . Należy podać trzeci rzut prostej.

2.Punkt leży na płaszczyźnie jeżeli leży na prostej należącej do tej płaszczyzny

3.Prosta leży na płaszczyźnie jeżeli przechodzi przez dwa punkty tej płaszczyzny.

Przykłady

1. Przyjąć na płaszczyźnie Aa dowolny punkt

2. 
   

Obieramy dowolną prostą, ale taką której znane są rzuty dwóch punktów. Przyjmijmy prostą przez punkt A i dowolny punkt 1 prostej a . Tak otrzymana prosta spełnia warunek przynależności do danej płaszczyzny, a zatem każdy jej punkt np. P również należy do płaszczyzny aA.

3. Określić rzut pionowy punktu C^II zakładając, że należy on do płaszczyzny Al.

4. 
   

Prosta AC należy do płaszczyzny i przecina się z prostą l. Przenosząc punkt przecięcia do rzutu pionowego możemy odbudować położenie prostej AC.

5. Określ położenie l^II należącej do płaszczyzny pq.

6. 
   

Prosta l przynależy do płaszczyzny pq , a zatem przecina się z prostymi q i w punktach 1 i 2.p

7. Płaszczyzna a jest określona prostymi p q. m  m^I=? 

8. 
   

Wykorzystujemy fakt, że proste p, q, m leżą na wspólnej płaszczyźnie , a zatem się przecinają.

9. Określ położenie punktu D^I, zakładając jego przynależność do płaszczyzny wielokąta.

Wykorzystujemy punkt przecięcia przekątnych do określenia prostej na której leży D.

Przynależność do płaszczyzn rzutujących

Płaszczyzna pionowo- rzutująca a jest opisana tylko jednym rzutem a ^II. Rzutem poziomym tej płaszczyzny jest cała rzutnia

Obierzmy na tej płaszczyźnie dowolny punkt x. Jego pionowy rzut musi znaleźć się na obrazie płaszczyzny, rzut poziomy jest dowolny.

Przez dowolną prostą poprowadźmy płaszczyznę rzutującą.

Istnieją dwie takie płaszczyzny które możemy poprowadzić bezpośrednio w rzutach . Jest to płaszczyzna poziomo-rzutująca a (zaznaczamy tylko jeden rzut a ^I), lub też zupełnie inna płaszczyzna pionowo-rzutująca b .

Elementy wspólne

Punkt przebicia prostej z płaszczyzną rzutującą

Punkt przebicia prostej z płaszczyzną poziomo-rzutującą uzyskuje się bezpośrednio w rzucie poziomym na przecięciu rzutów prostej i płaszczyzny. Rzut pionowy punktu przebicia znajduje się na rzucie prostej

W taki sam sposób otrzymamy punkt przebicia z płaszczyzną pionowo-rzutującą . Odpowiednio rzut pionowy punktu jest na przecięciu rzutów prostej i płaszczyzny.

Krawędź płaszczyzny dowolnej z płaszczyzną rzutującą

Krawędź jest prostą przechodzącą przez punkty przebicia dwóch dowolnych prostych jednej płaszczyzny z drugą. Czyli musimy dwukrotnie powtórzyć znaną nam już konstrukcję punktu przebicia prostej z płaszczyzną rzutującą.

Przykład

Znajdźmy krawędź pomiędzy płaszczyzną opisaną parą prostych a i b przecinających się w punkcie z płaszczyzną rzutującą 

Punkty A i B są punktami przebicia prostych a i b z  i wyznaczają krawędź k.

Punkt przebicia prostej z płaszczyzną dowolną

Należy posłużyć się następującym algorytmem:

1.Przez prostą p prowadzimy płaszczyznę rzutującą w dowolnym rzucie

2. Wyznaczamy krawędź płaszczyzny rzutującej z daną płaszczyzną

3 Wyznaczamy punkt przecięcia krawędzi i danej prostej (obie proste przynależą do tej samej płaszczyzny rzutującej).

Przykład

Wyznaczyć punkt przebicia prostej p z płaszczyzną określoną parą prostych ( a, b ) przecinających się w punkcie

Z ilustracji przestrzennej wynika, że punkt przebicia nie jest bezpośrednio związany z prostymi a i b , ale jest wynikiem usytuowania płaszczyzny względem prostej p.

Przez prostą p prowadzimy płaszczyznę poziomo-rzutującą  i szukamy jej krawędzi z płaszczyzną a b . Krawędź tą wyznaczą punkty przebicia prostych a i b z płaszczyzną rzutującą bezpośrednio w rzucie poziomym( punkty A i B ). Rzuty pionowe punktów należą do rzutów pionowych prostych (A^II a^II ,B^II b^II). Połączenie tych punków da krawędź k^II Krawędź i prosta p leżą na wspólnej płaszczyźnie  , a zatem się przecinają w punkcie przebicia Q.

Krawędź dwóch płaszczyzn dowolnych

Każde dwa dowolne punkty przebicia prostych jednej płaszczyzny z drugą płaszczyzną wyznaczają krawędź.

Zadanie sprowadza się do dwukrotnego wykonania zadania poprzedniego.

Przykład

Znajdźmy krawędź pomiędzy płaszczyznami trójkątów ABC oraz PQR

Obieramy dowolną prostą i szukamy punktu przebicia z drugą płaszczyzną. Np. Krawędź AC przebija trójkąt PQR w punkcie I (przez AC prowadzimy płaszczyznę pomocniczą  , punkty 1 i 2 wyznaczą krawędź z trójkątem PQR). Podobnie obieramy krawędź QR i szukamy punktu przebicia II z trójkątem ABC ( przez QR prowadzimy płaszczyznę rzutującą  , punkty 3 i 4 wyznaczają krawędź z trójkątem ABC O.

Punkty I , II należą jednocześnie do płaszczyzn obu trójkątów, wyznaczają linię przenikania między nimi, która jest ograniczona do odcinka znajdującego się na obu trójkątach.

Krawędź k jest linią należącą do obu płaszczyzn i przecina się z prostymi leżącymi na tych płaszczyznach. Tak więc rzuty punktu przecięcia II z bokiem PR leżą na wspólnej odnoszącej. Także punkt przecięcia IV z bokiem BC musi mieć rzuty pionowy i poziomy na wspólnej odnoszącej.

Przedłużanie linii przenikania i szukanie punktów przecięcia z innymi prostymi płaszczyzn jest sprawdzeniem poprawności konstrukcji.

Równoległość

Dwie proste równoległe

Dwie proste są do siebie równoległe jeżeli ich odpowiednie rzuty są do siebie równoległe.

a II b jeśli a^I II b^I oraz a^II II b^II

Wyjątek stanowią proste prostopadłe do osi x

Prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta jest równoległa do płaszczyzny jeśli jest równoległa do dowolnej, dowolnie wybranej prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

Dwie płaszczyzny równoległe

Dwie proste równoległe do danej płaszczyzny wyznaczają płaszczyznę do niej równoległą.

Przykłady

1. Przez punkt P poprowadzić prostą p równoległą do a

2. 
   

Prosta p musi spełniać dwa warunki

-przynależności punktu P do niej

-równoległości do prostej a

3. Przez punkt P poprowadzić dowolną prostą równoległą do płaszczyzny 

1. 
   

Obieramy dowolną prostą m na płaszczyźnie ABC, w naszym przypadku przechodzi przez punkty C i 1( punkt 1 spełnia warunek przynależności do boku AB ) . Następnie przez punkt P prowadzimy prostą n odpowiednio równoległą w rzutach do prostej m.

2. Przez punkt P poprowadzić prostą równoległą do płaszczyzny rzutującej 

Jakąkolwiek nie obierzemy prostą na płaszczyźnie  , w rzucie pionowym pokryje się z rzutem  ^II. Dlatego każda prosta równoległa do płaszczyzny  , a w szczególności przechodząca przez punkt P musi być równoległa do  ^II. Rzut poziomy jest dowolny, każda prosta przechodząca przez P, której rzut pionowy pokrywa się z n^II jest równoległa do  .

Prostopadłość

Dwie proste prostopadłe

Zagadnienie dotyczy dwóch prostych prostopadłych przecinających się oraz prostych skośnych o kierunkach prostopadłych.

Rzut prostokątny kąta prostego zawartego między danymi prostymi a i b może przybierać wartości 0 - 180° zależnie od kierunku tych prostych w stosunku do rzutni.

Twierdzenie

Rzut prostokątny kąta prostego jest kątem prostym, jeżeli co najmniej jedno ramię jest równoległe do rzutni,

a drugie nie jest do niej prostopadłe

Założenia: a  b , a II  , b nie jest prostopadłe do 

Teza: a^I  b^I

Dowód: a→  _{1 }

b→  _{2 } k= _{1 2}

z przynależności k do płaszczyzn prostopadłych k  

1. a  b z założenia

2. a  k z założenia (a II p ) i dowodu (k   )

bk  _{2 →} a  ₂ → na podstawie twierdzenia, że jeżeli prosta jest prostopadła do płaszczyzny to jest prostopadła do każdej prostej należącej do tej płaszczyzny

b^{I  } ₂ , z czego wynika a  b^I

z założenia a II  → a II a^I, a zatem a^{I } b^I cbdu.

Przez dany punkt można przeprowadzić pęk prostych prostopadłych do jakiejś prostej, zaś z tego pęku bezpośrednio w rzutach można przeprowadzić tylko dwie proste prostopadłe :

1. prostą poziomą m

2. 
   

Prosta m w rzucie pionowym jest równoległa do osi x, natomiast w rzucie poziomym jest prostopadła do rzutu poziomego prostej.

3. prostą czołową n

Prosta n jest w rzucie poziomym równoległa do osi x, w rzucie pionowym prostopadła do rzutu pionowego prostej.

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny , jeżeli jest prostopadła do wszystkich prostych tej płaszczyzny, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, aby była prostopadła do dwóch różnych prostych tej płaszczyzny.

Prosta prostopadła do płaszczyzny dowolnej

Niech będzie dana płaszczyzna trójkąta ABC . Przez punkt P poprowadźmy prostą prostopadłą.

Prosta jest prostopadła , jeżeli jest prostopadła do dwóch dowolnych prostych tej płaszczyzny. Spośród wszystkich prostych płaszczyzny wybierzmy prostą poziomą m oraz czołową n , ponieważ łatwo wykreślimy rzuty prostej prostopadłej. P^{I } m^I p^II n^II

Płaszczyzna prostopadła do prostej

Płaszczyznę określamy przy pomocy prostej poziomej m i czołowej n przecinających się w punkcie.

Przykłady

1. Poprowadzić prostą prostopadłą do płaszczyzny pionowo-rzutującej 

2. Poprowadzić prostą prostopadłą do płaszczyzny poziomo-rzutującej  .

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny

Zagadnienie nie jest jednoznaczne. Wszystkie płaszczyzny przechodzące przez prostopadłą są prostopadłe do płaszczyzny 

Płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny, jeżeli przechodzi przez prostą prostopadłą do płaszczyzny, lub też jest prostopadła do prostej przynależnej do tej płaszczyzny.

Przez dowolny punkt można przeprowadzić wiele płaszczyzn prostopadłych do danej.

Przez dowolną prostą można przeprowadzić jedną płaszczyznę prostopadłą do danej.

Tutaj kończymy WYKŁAD 2 . Masz dostateczną ilość informacji , aby przystąpić do samodzielnego wykonania 2ARKUSZA.

---