 | Pobierz cały dokument przeksztalcenia.ciagle.matematyka.studia.doc Rozmiar 555 KB |
Przekształcenia ciągłe
W tym rozdziale wprowadzamy definicje funkcji ciągłej, otwartej, domkniętej, homeomorfizmu; podajemy podstawowe własności takich przekształceń. Korzystając z pojęcia ciągłości konstruujemy produkt przestrzeni topologicznych oraz przestrzeń ilorazową.
Funkcje ciągłe
Definicja
Niech:
,
będą przestrzeniami topologicznymi.
Funkcję
nazywamy funkcją ciągłą, o ile
.
Innymi słowy funkcja
jest ciągła, jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych poprzez tę funkcję są zbiorami otwartymi.
Zauważmy, że ta sama funkcja
, w zależności od topologii na zbiorach X i Y może być lub nie być ciągła. O ile na zbiorach X,Y są z góry ustalone pewne wybrane topologie, mówienie o ciągłości funkcji
nie prowadzi do nieporozumień. Kiedy jednak na przykład rozważamy dwie różne topologie
na zbiorze X, zapis
przestaje być jednoznaczny. W związku z tym zamiast mówić o funkcjach ciągłych działających między zbiorami, będziemy mówili raczej o odwzorowaniach ciągłych działających między przestrzeniami topologicznymi. Tam gdzie to konieczne będziemy pisali:
zamiast
.
Własności
Niech
będą przestrzeniami topologicznymi.
Jak wykazaliśmy w rozdziale 1. (podrozdział "funkcje ciągłe", własność 3.), w przypadku gdy X,Y są przestrzeniami metrycznymi, powyższa definicja jest pewne orównoważna definicji wyrażonej w języku ε-δ (a zatem i definicji ciągowej) ciągłości.
Jeśli
i
są funkcjami ciągłymi, to funkcja
jest ciągła.
Dowód:
Weźmy dowolny zbiór
. Musimy pokazać, że
. Zauważmy, że
. Z ciągłości g mamy
. Zatem, z ciągłości f,
.
Definicję ciągłości można równoważnie sformułować na wiele sposobów. W szczególności, równoważne są następujące warunki:
jest ciągła,
,
Dla pewnej podbazy otwartej
w Y:
,
Dla pewnej bazy otwartej
w Y:
,
Dla pewnych systemów otoczeń
,
odpowiednio w X i Y:
.
Dowód:
[1.]
[2.]
[1.]
[3.] Oczywiste, bo
.
[3.]
[4.] Elementy bazy
są skończonymi przekrojami elementów podbazy
. Zatem ich przeciwobrazy są skończonymi przekrojami przeciwobrazów elementów
, więc z 3. są otwarte.
[4.]
[5.] Weźmy dowolne
i
. Zauważmy, że ponieważ
jest bazą w Y, to
dla pewnej rodziny
. Zatem
. Ponadto
, zatem
.
jest bazą otoczeń x, zatem istnieje
takie, że
. Ponadto
.
[5.]
[1.] Weźmy
dowolne. Dla dowolnego
istnieje (z otwartości U i definicji systemu otoczeń)
takie, że
. Z 5. istnieje zatem otoczenie otwarte
punktu x takie, że
. Stąd
, więc x jest punktem wewnętrznyn f − 1(U). Z dowolności x otrzymujemy, że f − 1(U) jest zbiorem otwartym.
W zadaniach do tego rozdziału Czytelnik odnajdzie inne charakteryzacje ciągłości.
Przykłady
 | Pobierz cały dokument przeksztalcenia.ciagle.matematyka.studia.doc rozmiar 555 KB |