POLITECHNIKA ZIELONOGÓRSKA

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII SANITARNEJ

PRACOWNIA FIZYKI

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 2:

„Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego.”

Agnieszka Piwowarska, gr 13

Rok akademicki 2000/01

1. Część teoretyczna

Drgania oscylatora harmonicznego:

niegasnące, tłumione, wymuszone.

Ruch harmoniczny (drgania mechaniczne harmoniczne)

Z punktu widzenia matematyki ruch harmoniczny punktu materialnego opisuje równanie:

S = A sin ωt

Gdzie:

s - oznacza wychylenie punktu drgającego od położenia równowagi,

t - czas,

A i ω - wielkości stałe w danym ruchu, tzn. niezależne od czasu.

Znaczenie stałej A wynika z charakteru funkcji sinus : funkcja ta może się zmieniać w granicach od -1 do +1, a zatem wychylenie s od położenia równowagi może się zmieniać w granicach

Innymi słowy, punkt drgający może się odsuwać od położenia równowagi najdalej o
. Stała A oznacza więc największe wychylenie od położenia równowagi, zwane amplitudą ruchu harmonicznego.

Zasadniczą cechą ruchu harmonicznego jest jego okresowość. Czas trwania jednego pełnego drgnienia T, zwany okresem, wynosi :

Częstotliwość ruchu
, czyli liczba pełnych drgań dokoła położenia równowagi, wykonywanych w jednostce czasu, jest odwrotnością okresu :

Z wzorów tych wynika znaczenie stałej ω, zwanej pulsacją (częstością kątową) :

lub

W układzie SI jednostką pulsacji jest radian na sekundę (rad/s)

Uwzględniając powyższe przekształcenia, można teraz równanie ruchu harmonicznego zapisać w postaci :

Drgania dookoła położenia równowagi odbywające się zgodnie z tym równaniem, nazywamy często oscylacjami harmonicznymi, a ciało wykonujące takie drgania - oscylatorem harmonicznym.

Przejdźmy teraz do obliczenia prędkości
ruchu harmonicznego. Pamiętając, że prędkość jest pochodną drogi względem czasu, znajdujemy :

Jak widać, prędkość jest wielkością zmienną, okresową. Ponieważ
, więc największa wartość prędkości maksymalnej
.

W analogiczny sposób badamy przyspieszenie, Pamiętając, że a jest pochodną prędkości względem czasu, mamy :

Ale iloczyn Asinωt wyraża wychylenie s od położenia równowagi, a zatem :

lub

• Znak minus w tym wzorze przypomina, że zwrot przyspieszenia jest zawsze przeciwny do zwrotu wychylenia od położenia równowag : gdy ciało znajduje się po prawej stronie, przyspieszenie skierowane jest w lewo i odwrotnie. Uwzględniając równocześnie zwroty prędkości można łatwo określić, na jakich odcinkach drogi ruch jest przyspieszony lub opóźniony.

• Przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do wychylenia od położenia równowagi.

• Punkt drgający ma największe przyspieszenie wtedy, gdy jego wychylenie od położenia równowagi jest maksymalne, a prędkość równa zeru..

Drgania tłumione

Drgania odbywane w warunkach rzeczywistych, w dowolnym ośrodku materialnym, zawsze są połączone z przekazywaniem energii otoczeniu w związku z pokonywaniem sił oporu. W wyniku wykonywanej pracy energia ciała drgającego maleje, zmniejsza się też amplituda drgań. Drgania nie podtrzymywane siłą zewnętrzną ulegają tłumieniu, gasną, znikają-stąd ich nazwy: drgania tłumione, gasnące, zanikające.

Prócz siły proporcjonalnej do wychylenia działającej ku środkowi ruchu działa jeszcze siła hamująca ruch (opór środowiska, tarcie wewnętrzne itp.). Można założyć prawie bezbłędnie, że siła hamująca jest proporcjonalna do prędkości ruchu drgającego i jest skierowana zawsze przeciwnie do chwilowej prędkości punktu. Zatem na punkt wychylony o x z położenia równowagi będą działały dwie siły, jedna proporcjonalna do wychylenia, druga-do prędkości.

k₁ i k₂ -współczynniki proporcjonalności

Z punktu widzenia matematycznego wychylenie punktu w drganiu tłumionym opisuje równanie:

gdzie:

Drgania wymuszone

Przypadek ruchu punktu, który może drgać ruchem harmonicznym, gdy nań działa periodyczna siła zewnętrzna:

Wzór opisujący ruch punktu w drganiu wymuszonym ma następującą postać:

gdzie:

• Są to drgania niezanikające, trwające tak długo, jak długo działa siła periodycznie zmienna.

• Częstość tego drgania będzie się równać częstości siły wymuszającej

• Amplituda C tego drgania zależy głównie od wartości
  , w przypadku, gdy
  , amplituda drgania wymuszonego będzie miała największą wartość

Drgania nietłumione

Są to drgania o stałej amplitudzie i niezmiennej energii całkowitej E_c

Wahadła jako przykład ruchu harmonicznego.

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne to punkt materialny (np. w postaci kulki o masie m bardzo małym promieniu) zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Wychylając nić o niewielki kąt

od położenia pionowego i puszczając swobodnie kulkę K wywołujemy jej drgania dokoła położenia równowagi D. Aczkolwiek w praktyce amplituda tych drgań wskutek pokonywania oporów stopniowo maleje, okres wahań uznajemy za stały.

Tę własność ruchu wahadła nazywamy izochronizmem. W dalszym opracowaniu, siła oporu będzie pomijana, zakładając, ze na kulkę działa tylko siła ciężkości KA=mg. Siłę tę rozkładamy na dwie składowe. Jedna z nich, KB, działa wzdłuż nici powodując tylko jej naprężenie, druga, KC, styczna do toru wahadła, wywołuje jego ruch z przyspieszeniem a, a zatem równa się ma. Z prostych zależności geometrycznych wynika, że :

kąt EOK= kąt CAK =

Z trójkąta CAK

sin
=

Z trójkąta OKE

sin
=

gdzie l oznacza długość wahadła, czyli odległość od punktu zawieszenia O do środka kulki K.

A zatem :

, czyli

Gdy kąty wychylenia nici od położenia pionowego są małe, nie przekraczają 5-6°, można w przybliżeniu traktować odcinek EK jako równy łukowi DK, czyli równy wychyleniu kulki od położenia równowagi. A zatem - wobec stałości czynnika
w określonym miejscu na Ziemi - przy małych wychyleniach wahadła zachodzi proporcjonalność przyspieszenia do wychylenia. Poza tym przyspieszenie (a więc i siła) ma zwrot do położenia równowagi.

Ale te cechy wymieniamy jako charakterystyczne dla ruchu harmonicznego, możemy zatem ruch wahadła (w przypadku małych wychyleń) uważać za ruch harmoniczny. Z porównania wartości współczynników proporcjonalności, wynika zależność :

z której otrzymujemy wzór na okres wahadła matematycznego

Przekształcając i to wyrażenie, można dojść do postaci

otrzymując wzór przydatny do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego metodą wahadła matematycznego, którym to posłużyliśmy się w doświadczeniu z wahadłem rewersyjnym.

Równanie ruchu harmonicznego spełnia też

Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę sztywną dowolnego kształtu, zawieszoną tak, że może się wahać dookoła pewnej osi przechodzącej przez tę bryłę. Ruch wahadła fizycznego może być wywołany działaniem różnych sił. Prawa rządzące ruchem wahadła fizycznego najłatwiej przedstawić na przykładzie wahadła fizycznego grawitacyjnego.

Wahadło fizyczne grawitacyjne to bryła sztywna dowolnego kształtu, o środku ciężkości w punkcie S, zawieszona w taki sposób, że może się obracać bez tarcia dookoła osi poziomej, przechodzącej przez punkt O. Odległość OS od środka ciężkości do osi obrotu oznaczamy przez d, masę bryły przez m, moment bezwładności bryły względem osi obrotu - I. Gdy wahadło jest już wychylone od położenia równowagi, miarą wychylenia jest kąt
. W tym nowym położeniu na wahadło działa moment siły ciężkości, równy
, skierowujący wahadło w stronę położenia równowagi, co uwzględniamy, traktując moment siły jako wielkość ujemną.

Z teorii ruchu obrotowego wiemy, że moment siły wywołującej ten ruch równa się iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego
. A zatem w rozważanym przypadku wahadła fizycznego grawitacyjnego zachodzi równość :

Iloczyn mgd jest maksymalną wartością momentu siły ciężkości odpowiadającą wychyleniu wahadła o kąt
od położenia równowagi. Nazywamy ją momentem kierującym wahadła grawitacyjnego i oznaczamy literą D :

Ograniczając rozważania ruchu wahadła fizycznego do bardzo małych kątów wychylenia, można skorzystać z przybliżonej równości
. Wtedy po uwzględnieniu momentu kierującego, równość przyjmuje postać :

lub, po uwzględnieniu tego, że z definicji
:

Równanie to jest analogiczne do równania ruchu harmonicznego, z tym, że zamiast wychylenia liniowego występuje wychylenie kątowe i stosunek
zastępuje czynnik
lub
, więc :

, skąd

Wzór powyższy, wyprowadzony dla wahadła fizycznego grawitacyjnego, jest słuszny dla dowolnego wahadła fizycznego, z tym że oczywiście w zależności od warunków powstawania ruchu, wchodzą w grę momenty kierujące różnych sił (np. magnetycznych, sprężystych itp.). Wahadło matematyczne można uważać za szczególny przypadek wahadła fizycznego grawitacyjnego. Podstawiając
i
, otrzymujemy znany wzór na okres wahadła matematycznego :

Przyspieszenie ziemskie i jego zależność od odległości od środka Ziemi i współrzędnych geograficznych.

Przyspieszenie, z jakim spadają ciała w próżni, zwane przyspieszeniem ziemskim i oznaczane literą
różni się nieco od przyspieszenia grawitacyjnego, którego wartość obliczaliśmy ze wzoru
. Ma ono także na ogół inny kierunek niż linie natężenia pola grawitacyjnego Ziemi, a jego wartość zależy od szerokości geograficznej.

Zależność wartości przyspieszenia ziemskiego
(mierzonego na poziomie morza) od szerokości geograficznej

Szerokość geograficzna (w stopniach)	Przyspieszenie ziemskie (w )
0 30 60 90	9,7804 9,7933 9,8192 9,8322

Jak widać z tabeli, różnica wartości
na biegunie i na równiku wynosi około 0,05
= 5
. Główną przyczyną tego faktu jest ruch obrotowy Ziemi wokół własnej osi. Mniej ważną, ale istotną także przyczyną jest spłaszczenie Ziemi (jako że Ziemia jest przybliżoną elipsoidą obrotową). Weźmy pod uwagę wpływ ruchu obrotowego Ziemi. Z punktu widzenia obserwatora w układzie nie-inercjalnym, związanym z obracającą się Ziemią, na każde ciało (z wyjątkiem ciał znajdujących się na biegunach), prócz siły grawitacji
działa jeszcze siła odśrodkowa bezwładności
, której wartość
, gdzie m jest masą ciała,
wartością prędkości kątowej Ziemi, a
- promieniem okręgu, po którym ciało się porusza wraz z danym punktem Ziemi, tzn. promień odpowiedniego równoleżnika. W efekcie obserwujemy przyspieszenie ciała nadane przez siłę wypadkową.

Owa siła wypadkowa Q ma nieco mniejszą wartość niż siła grawitacji
i - poza równikiem - także inny kierunek, nie jest bowiem zwrócona do środka Ziemi. Tę wypadkową siłę w odróżnieniu od siły grawitacji nazywamy ciężarem ciała.

Jeśli ciało spoczywa na jakimś podłożu lub jest zawieszone, to jego ciężar jest zrównoważony przez siłę sprężystości., jeśli nie - spada swobodnie, wykonuje rzut poziomy, pionowy lub ukośny (w zależności od warunków początkowych), ale w każdym punkcie toru ma ono jednakowe przyspieszenie g wyznaczone przez wypadkową siły grawitacji i siły odśrodkowej bezwładności (oczywiście w próżni, w warunkach normalnych podczas ruchu dochodzi jeszcze siła oporu powietrza, zależna od prędkości ciała, więc siła zmienna).

Siła odśrodkowa bezwładności nie występuje na biegunach (gdyż należą one do osi obrotu). Tam więc przyspieszenie ziemskie staje się przyspieszeniem grawitacyjnym. Gdy ciało umieścimy na równiku, działająca na nie siła odśrodkowa będzie miała największą wartość (bo największa odległość od osi obrotu). W dodatku jej zwrot jest przeciwny niż zwrot siły grawitacji, dlatego ciężar jest tam najmniejszy, a co za tym idzie, najmniejsze jest także przyspieszenie ziemskie.

Dzieląc obydwie strony tego równania przez masę ciała otrzymujemy związek między przyspieszeniami. Różnica między wartościami przyspieszeń : grawitacyjnego i ziemskiego jest równa wartości przyspieszenia odśrodkowego
:

Po podstawieniu odpowiednich wartości liczbowych otrzymujemy
.

Jest to wartość przyspieszenia odśrodkowego, jakie nadawałaby wszystkim ciałom na równiku siła odśrodkowa bezwładności. Jak widać, stanowi ona bardzo mały ułamek g. W rzeczywistości siła odśrodkowa bezwładności, nawet na równiku (największa) stanowi niecałe 0,5% siły grawitacji.

Gdyby ruch obrotowy Ziemi stanowił jedyną przyczynę zależności przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej, różnica
wynosiłaby 3,4
. Pozostała część obserwowanej różnicy (około 5
) jest wynikiem spłaszczenia Ziemi. Ziemię uważamy w przybliżeniu za elipsoidę obrotową (bryła powstała przez obrót elipsy dookoła jednej z jej osi symetrii) o następujących wymiarach :

Natomiast promień kuli o tej samej objętości wynosi 6371km. Z powodu tego spłaszczenia różnica między przyspieszeniami „czysto” grawitacyjnymi na biegunie i równiku wynosi 1,6
. Różnica ta pozostałaby nawet wówczas, gdyby Ziemia przestała się obracać wokół własnej osi zachowując swój obecny kształt.

Podsumujmy więc - na wartość przyspieszenia w różnych punktach Ziemi wpływają:

1. kształt Ziemi,

2. ruch obrotowy Ziemi wokół własnej osi,

3. niejednorodność budowy Ziemi.

Swoisty kształt Ziemi, przypominający spłaszczoną od strony biegunów elipsoidę obrotową, nazywamy geoidą. Dzięki temu wartość g rośnie w miarę wzrostu szerokości geograficznej. Każde ciało znajdujące się na Ziemi uczestniczy w jej ruchu obrotowym dokoła osi. Potrzebna do utrzymania ciała w tym ruchu siła odśrodkowa jest proporcjonalna (przy stałych m i
) do promienia zakreślanego koła, a więc największa na równiku, zerowa natomiast na biegunie. Siła dośrodkowa powstaje kosztem części siły przyciągania ziemskiego. Stąd wniosek, że ruch obrotowy Ziemi dokoła własnej osi wpływa na wartość g w ten sposób, że rośnie ona stopniowo w miarę przesuwania się wzdłuż południka od równika do bieguna (wzrost szerokości geograficznej). Oba wymienione czynniki powodują, że g jest większe na biegunie niż na równiku. Także niejednorodność struktury Ziemi, jak również jej ukształtowanie powierzchni powodują niewielkie lokalne wahania wartości g.

2. Ćwiczenia praktyczne

Elektronicznym sekundomierzem wykonano 32 pomiary, zmierzono czas trwania trzydziestu okresów wahań dla dwóch zawieszeń A i B wahadła i dla różnych odległości soczewki od ostrza wahadła. Dane zestawiono w tabeli I.

Każdorazowe mechaniczne wychylenie wahadła nie przekraczało 10º. Okresy dla poszczególnych czasów wahań uzyskano korzystając ze wzoru :

gdzie:

T - okres wahań

t - czas wahań

Położenie ruchomej soczewki zmieniano co 5 cm, uzyskano więc pomiary dla odległości

0 -80cm.

L.p.	a [cm]	tA [s]	TA [s]	tB [s]	TB [s]	l0 [m]	g [m/s^2]
1	5	55,2	1,84	55,47	1,849	0,8192	9,802889
2	10	54,68	1,822667	54,99	1,833
3	15	54,52	1,817333	54,56	1,818667
4	20	54,35	1,811667	54,19	1,806333
5	25	54,24	1,808	53,89	1,796333
6	30	54,2	1,806667	53,66	1,788667
7	35	54,14	1,804667	53,52	1,784
8	40	54,16	1,805333	53,46	1,782
9	45	54,16	1,805333	53,48	1,782667
10	50	54,2	1,806667	53,57	1,785667
11	55	54,27	1,809	53,79	1,793
12	60	54,36	1,812	53,99	1,799667
13	65	54,52	1,817333	54,58	1,819333
14	70	54,67	1,822333	55,08	1,836
15	75	54,86	1,828667	55,77	1,859
16	80	55,05	1,835	55,86	1,862

Tabela I

Na podstawie danych pomiarowych sporządzono wykres I:
.

Wykres zaopatrzono w prostokąty błędów. Błędy pomiarowe zostały porównane z odpowiadającymi im wartościami na wykresach. Wyznaczone w powyższy sposób błędy pomiaru posłużyły do znalezienia prostokątów błędu o odpowiednich wartościach boków.

Na wykresie I na osi OX przedstawiono wartość odległości a[cm]. Przyjęty dla potrzeb wykresu zakres wynosi 0-90 cm, stopniowany co 2 cm. Na osi OY przedstawiono długość okresów Ta i Tb [s]. Przyjęty dla potrzeb wykresu zakres wynosi 1,770-1,870 s, stopniowany co 0,002 s. Wykres zawiera legendę.

Punkty przecięcia się krzywych na wykresie pozwoliły znaleźć wartość okresu T. Wynosi on

T=Ta=Tb=1,816 s.

Za wartość długości zredukowanej
przyjęto 0,8192 m. (zaproponowana przez prowadzącego)

Obliczono przyspieszenie ziemskie g ze wzoru :

Obliczanie błędu g

(wartość zaproponowana przez prowadzącego)

g=9,806±0,0604

---