Rys.33. Widmowa gęstość mocy S_xx(ω) sygnału x(t) i połówkowa gęstość mocy G_xx(ω) tegoż sygnału.

Jako argument widmowych gęstości mocy sygnałów przyjmuje się tu częstotliwość Ω pofałdowania profilu. Oznaczmy wartości nierówności w danym profilu przez z(x). Transformatę Fouriera tej funkcji wyznaczamy całkując względem x, tj. bieżącej współ-rzędnej profilu (w miejsce t -jak dla sygnałów w funkcji czasu):

gdzie L jest długością mierzonego odcinka profilu. Widać stąd, że Ω jest mierzone w [1/m]. Transformata Fouriera ma tu wymiar [m²]. Jeśli widmową gęstość mocy własnej zapiszemy jak dla funkcji zdeterminowanych, to:

lub

a więc zarówno S_zz(Ω) jak i G_zz(Ω) są mierzone w [m³]. Przykłady jednostronnych widmowych gęstości mocy dla różnych profilów nawierzchni dróg pokazano na rys.34 i 35. Mają one na ogół przebieg malejący w miarę wzrostu Ω. Dla wygody obliczeń bywa ona aproksymowana funkcją wykładniczą o postaci:

Funkcję tę pokazano na rys.36 wraz z danymi dla dróg angielskich.

Rys.34 Rys.35

Rys.36

Wspomniano już o założeniach czynionych odnośnie izotropowości i jednorodności profili torów na jezdni. Wyniki pomiarów dla większości dróg angielskich potwierdzają te hipotezy. Na rys.37 pokazano widmowe gęstości mocy własnej profili trzech różnych dróg. Linia ciągła dotyczy koła lewego, zaś przerywana - koła prawego.

Rys.37. Porównanie widmowych gęstości mocy własnej profili koła lewego (linia ciągła) i prawego (linia przerywana).

Związek między profilami koła lewego i koła prawego może być określony za pomocą funkcji koherencji zwyczajnej, która wynosi:

gdzie S_PP(Ω) i S_LL(Ω) są widmowymi gęstościami mocy własnej profilu koła prawego i lewego, zaś S_LP(jΩ) jest mocą wzajemną profili obu kół. Na rys.38 pokazano przykłady przebiegu funkcji koherencji zwyczajnej dla profili koła lewego i prawego.

Rys.38. Funkcje koherencji profili torów koła lewego i prawego.

Funkcje koherencji są również aproksymowane różnymi prostymi funkcjami, np.:

lub

gdzie d jest rozstawem kół, zaś Θ(Ω) - pewnym współczynnikiem zależnym od przebiegu widmowej gęstości mocy własnej profili obu torów.

Po danym profilu koło toczy się z pewną prędkością kątową ν[rad/s]. Środek koła porusza się wówczas z prędkością V= rν[m/s], gdzie r jest promieniem toczenia koła. Profil powoduje wówczas kinematyczne wymuszenie pionowych przemieszczeń punktu styku koła z profilem z częstotliwością zależną od Ω[1/m]. Wynosi ona:

f [Hz]=VΩ

Związek ten pozwala przekształcić widmową gęstość mocy własnej G(Ω) na G(f) wedłyg zależności:

G(f)=G(Ω)/V [m²s]

która przedstawia widmową gęstość mocy własnej sygnału, jako funkcji czasu z(t), wymuszającego pionowe drgania pojazdu. Na podstawie funkcji G(f) można wygenerować sygnał pseudolosowy o tej samej widmowej gęstości mocy własnej (o czym dalej).

Koła tylne samochodu toczą się podczas jazdy po torach prostych po tych samych śladach co koła przednie. Sygnały wymuszające ze strony kół tylnych są takie same jak ze strony kół przednich i jedynie opóźnione o τ = a/V, gdzie a jest odległości kół przednich od tylnych. Opóźnienie to nie wpływa na wartości widmowych gęstości mocy własnej tak, że wielkości te są jednakowe dla kół przednich i tylnych.

3.3. Generowanie sygnałów na podstawie ich charakterystyk częstotliwościowych

Jeśli znamy tylko widmową gęstość mocy sygnału z(t) (np. pionowe nierówności nawierzchni drogi jak na rys.35-36) to jest to zbyt mało danych, aby można było na tej podstawie dokładnie wyznaczyć ten sygnał w funkcji czasu, tj. wygenerować sygnał. Gdyby była znana transformata Fouriera tego sygnału, czyli:
lub
, to zadanie takie było by w pełni określone i sygnał z(t) mógł by zostać wyznaczony z dokładnością zależną tylko od technicznych możliwości obliczeniowych. Jeśli jednak nie dysponujemy pełną transformatą Fouriera, lecz tylko widmową gęstością mocy własnej sygnału
co jest równoznaczne ze znajomością tylko modułu transformaty Fouriera, czyli:
, bowiem
, dla ω>0 oraz
, gdzie T jest czasem pobierania sygnału, to z(t) możemy wyznaczyć jedynie w przybliżeniu. Metodę taką podał wspomniany już prof. J. D. Robson.

Metoda ta polega na następującym. Z odwrotnej transformaty Fouriera mamy:

Funkcja
jest parzysta względem ω, zaś ωt-α(ω) jest nieparzysta względem ω. Dalej funkcja sin[ωt-α(ω)] jest nieparzysta względem ω, zaś cos[ωt-α(ω)] jest parzysta. Stąd druga z powyższych całek jest równa zero (funkcja z(t) jest rzeczywista). Pierwsza z powyższych całek, z tych samych względów, ma taką samą wartość w przedziale
jak i w przedziale
. Zatem możemy napisać:

lub

Wynika stąd, że dla danej
można dobrać dowolnie dużo różnych sygnałów z(t) przyjmując różne α(ω). Każdy z tak dobranych sygnałów będzie miał identyczną widmową gęstość mocy własnej, a co za tym idzie - również moduły transformat Fouriera.

Przypuśćmy, że znamy
. Generowany sygnał oznaczmy przez z*(t). Wówczas:

czyli

stąd
oraz

niezależnie od wartości przyjmowanych przez α(ω). Wygenerowany sygnał z*(t) będzie się oczywiście różnił od z(t), lecz jego widmowe gęstości mocy własnej będą jednakowe.

Generowanie sygnału na podstawie widmowej gęstości mocy własnej może być przeprowadzane na kilka sposobów.

Sposób pierwszy należy do najbardziej popularnych. Wartości α(ω) są losowane ze zbioru -π< α(ω)< π mającego równomierny rozkład prawdopodobieństwa o wartości π/2.

W sposobie drugim wykorzystujemy generator funkcji pseudolosowych. Oznaczmy sygnał otrzymany z takiego generatora przez y(t). Wyznaczamy
oraz
. Znamy widmową gęstość mocy własnej
sygnału, który chcemy wygenerować. Te dane pozwalają wyznaczyć transformatę Fouriera sygnału generowanego

skąd dalej wykonujemy odwrotną transformację Fouriera
.

Przetestujemy sposób pierwszy. W takim teście sygnał z(t) zadajemy. Powiedzmy, że ma on następującą postać:

Obliczenia przeprowadzimy metodą cyfrową przyjmując: T=10s oraz Δt=0.05. Stąd częstotliwość Nyquista wynosi:
. Częstotliwości tej nie wolno przekraczać. Przyjmijmy maksymalną wartość ω=ω_k=30 rad/s oraz Δω=0.05 rad/s. Wyniki analizy pokazano na kolejnych rysunkach.

Na rys.39 pokazano z(t). Zadanie nasze polega na tym, że znamy jedynie G_zz(ω), chcemy wyznaczyć na jej podstawie z*(t). Zatem wyznaczamy F_z(jω), a następnie G_zz(ω). Zatem sygnał z(t) poddajemy transformacji Fouriera. Moduł
pokazano na rys.40. Zawsze należy sprawdzić, czy transformacja została przeprowadzona prawidłowo. W tym celu na wyznaczonej F_z(jω) wykonujemy odwrotną transformację i sprawdzamy czy wynik pokrywa się z z(t) (Uwaga! jeśli F_z(jω) wyznaczyliśmy za pomocą szybkiej transformacji Fouriera - FFT, to do transformacji odwrotnej nie należy jej stosować). Wynik transformacji odwrotnej pokazano na rys.41.

Rys.39. Sygnał testowy.

Rys.40. Jednostronna widmowa gęstość mocy własnej sygnału testowego; na jej

podstawie generujemy sygnał z*(t).

Wygenerowany sygnał z*(t) pokazano na rys.42, wraz z przyjętym jako testowy z(t). Widać niewielką różnicę między tymi sygnałami. Na rys.43 pokazano widmową gęstość mocy własnej sygnału z*(t) wygenerowanego i wyjściową z rys.40. Różnice są tu znikome i powstały z błędów cyfrowych.

Rys.41. Sprawdzenie poprawności transformaty Fouriera.

Rys.42. Sygnał wygenerowany z*(t) w porównaniu do zadanego z(t).

Rys.42. Porównanie widmowych gęstości mocy sygnały testowego i wygenerowanego.

Jako następny przykład weźmy jednostronną widmową gęstość mocy własnej nierówności nawierzchni drogi pokazaną na rys.36 i wygenerujmy odpowiadający jej sygnał z(t), wymuszenie pionowych drgań samochodu jadącego po tej drodze. Przyjmijmy, że samochód poruszał się z prędkością v=25 m/s (90 km/h). Wówczas częstotliwości sygnału wyznaczamy następująco:
, zaś widmową gęstość mocy:
.

Korzystamy ze wzoru:

gdzie
. Otrzymany wynik, dla odcinka drogi L=750 m pokazano na rys.44.

Rys.44. Wygenerowany przebieg w czasie z(t) na podstawie widmowej gęstości mocy własnej podanej na rys.36 przy prędkości jazdy samochodu v=90 km/h.

Jak z widać z wykresu na powyższym rysunku droga jest pofałdowana sinusoidalnie o okresie ok. 325 m, co przy prędkości v=25 m/s daje okres wymuszenia drgań ok. 13 s. Ponadto występują wyższe harmoniczne, z których najniższa ma okres ok. 5 s.

3.4. Generowanie sygnałów wejściowych w badaniach symulacyjnych

Słowo „symulacja” rozumiemy zazwyczaj jako „naśladowanie czegoś”. W przypadku badań na stanowiskach badawczych będzie to naśladowanie, czyli symulacja obciążeń i drgań występujących w różnych warunkach pracy obiektu. Symulację taką realizujemy na stanowiskach badawczych, których wiele przykładów omówiono w p.2. Dla odróżnienia od bardziej dzisiaj rozpowszechnionych symulacji komputerowych, tj. symulacji przebiegu analizowanych zjawisk jedynie na podstawie modelu matematycznego rozwiązywanego na komputerze, symulację tutaj omawianą nazywamy symulacją eksperymentalną.

Na rys.13 pokazano dwa warianty badań symulacyjnych. Odnoszą się one nie tylko do badań pojazdów kompletnych, ale również do badań ich zespołów i elementów. Przy symulacji na podstawie sygnałów wejściowych (wariant 1 - rys.13a) winny być one zarejestrowane na tymże obiekcie w trakcie ich pracy w warunkach rzeczywistych (model warunków rzeczywistych - rys.1). Wówczas procedura symulacyjna jest prosta - zarejestrowane sygnały są poddawane odpowiednim skalowaniom i bezpośrednio podawane na sterowanie wibratorami. Na przykład dopuszczając omówione w p.3.2 uproszczenia dla badań pojazdów kompletnych, sygnały wejściowe mogą być kształtowane metodami jak w p.3.3. Również przy zastosowaniu badań pojazdu kompletnego według schematu jak na rys.17b sygnały wejściowe, którymi są składowe pionowe przyśpieszeń środków kół, mogą być symulowane bezpośrednio przez wibratory i realizowana symulacja na podstawie sygnałów wejściowych.

Jednak w wielu przypadkach sygnały wejściowe nie mogą być bezpośrednio mierzone i rejestrowane w trakcie pracy obiektu w warunkach rzeczywistych. Ma to miejsce np. przy badaniu pojazdów kompletnych, gdy nie chcemy dopuszczać tych uproszczeń, zostały omówione w p.3.2. Wówczas rezygnujemy z pomiarów nierówności pionowych nawierzchni drogi i w trakcie jazdy samochodu, a rejestrujemy składowe pionowe przyśpieszeń środków kół. Przyśpieszenia te traktujemy jako sygnały wejściowe, gdy badania prowadzimy według schematu jak na rys.17a, tj. wibratory działają na powierzchnie ogumienia kół (patrz rys.8, 9, 10, 12, 14, 15 i 16). Ten schemat w porównaniu do pokazanego na rys.17b jest bliższy rzeczywistym warunkom oddziaływania nierówności nawierzchni drogi na jadący samochód. W takich badaniach sygnały wejściowe na stanowisku wyznaczamy za pomocą specjalnych procedur i realizujemy symulację na podstawie sygnałów wyjściowych (wariant 2 - rys.13b).

Badania symulacyjne są prowadzone dla znacznie bardziej złożonych warunków (rys.17c, 18, 19), a szczególnie w badaniach zespołów napędowych pojazdów (rys.21, 22, 23, 24 i 25). Tutaj często stosowana jest symulacja mieszana, tj. część sygnałów może być podawana bezpośrednio z pomiarów w warunkach rzeczywistej pracy obiektu (symulacja na podstawie sygnałów wejściowych), zaś pozostałe (na ogół większość) kształtowane na podstawie sygnałów wyjściowych.

Dla symulacji na podstawie sygnałów wyjściowych konieczne jest przeprowadzenie szeregu procedur, w wyniku których następuje ukształtowanie sygnałów wejściowych. Weźmy prosty schemat pokazany na rys.45.

Rys.45. Schemat symulacji na podstawie sygnałów wyjściowych.

Zajmiemy się blokiem „procedura” schematu na rys.45. Przyjmijmy chwilowo, że dynamika obiektu może być dokładnie opisana liniowym modelem drgań (tj. opisana liniowymi równaniami różniczkowymi). W przypadku takim łatwo wyznaczyć transmitancję modelu metodą identyfikacji częstotliwościowej. Jest ona w tym przypadku pełną charakterystyką dynamiczną modelu a tym samym i obiektu. Transmitancja ta nie zależy od sygnałów wejściowych (jest taka sama dla każdego sygnału wejściowego). Wyznaczamy ją następująco: podajemy za pomocą wibratora dowolnie wybrany sygnał wejściowy x₀(t) (jedynie o dużym zakresie częstotliwości, np. sygnał o postaci „białego szumu”) i rejestrujemy odpowiedź obiektu y₀(t). Transmitancję widmową możemy wówczas wyznaczyć według jednego z następujących wzorów:

,
,

Znając transmitancję widmową możemy rozwiązać zadanie odwrotne i dla danego pożądanego sygnału wyjściowego y*(t) wyznaczyć odpowiadający mu sygnał wejściowy x*(t). Po dokonaniu transformacji Fouriera na sygnale y*(t) wyznaczamy:

a po przeprowadzeniu transformacji odwrotnej
mamy poszukiwany sygnał wejściowy.

Dla przykładu rozważmy następujące zadanie jako przykład testowy: prosty układ liniowy pokazany jest na rys.46. Przyjmijmy, że x(t) jest kinematycznym wymuszeniem drgań układu. Sygnały y₁(t) oraz y₂(t) są sygnałami wyjściowymi. Rozwiązania równań drgań tego układu przyjmiemy tu jako wynik eksperymentu przeprowadzonego na tym układzie.

Rys.46. Schemat układu liniowego.

Zadanie symulacji formułujemy następująco: wyznaczyć taki sygnał wejściowy x*(t) przy którym otrzymamy zadaną (pożądaną) odpowiedź
. Przy tym odpowiedź y₂(t) nie interesuje nas.

Przyjmijmy następujące dane: m₁=5kg, m₂=10kg, k₁=250N/m, k₂=500N/m, c₂=200Ns/m. Sygnałem pożądanym niech będzie:

W celu wyznaczenia transmitancji układu podajemy (przykładowo) następujący sygnał wejściowy:

gdzie: a₁=0,15cm, a₂=0,25cm, a₃=0,40cm, ω₁=3, ω₂=7, ω₃=17, ω₄=5rad/s, ϕ₁=0,1π, ϕ₂=-0,1π, ϕ₃=0,2π.

W takim przykładzie testowym, jak wspomniano, w miejsce eksperymentu podajemy rozwiązanie układu równań opisujących drgania układu z rys.46.

Przebiegi zmian w funkcji czasu sygnałów: y*₁(t), x⁽⁰⁾(t) oraz
pokazano na rys.47.

Rys.47. Sygnały układu na rys.46: a) sygnał pożądany y*₁(t), b) sygnał wymuszenia początkowego x⁽⁰⁾(t), c) odpowiedź y⁽⁰⁾₁(t) układu na sygnał początkowy.

Zadanie identyfikacji obiektu rozwiązujemy wyznaczając transmitancję układu ze wzoru:

gdzie

Transformaty Fouriera wykonujemy dla zakresu częstotliwości zgodnie ze wzorem Nyqusta. W rozważanym przypadku przyjęto ω_k=25rad/s. Wykres modułu transmitancji pokazano na rys.48.

Rys.48. Wyznaczony moduł transmitancji układu.

Zadanie odwrotne rozwiązujemy na podstawie wzoru:

gdzie

Następnie wykonujemy odwrotną transformację Fouriera i wyznaczamy x⁽¹⁾(t).

Sygnał x⁽¹⁾(t) jest oczywiście inny niż x⁽⁰⁾(t). Różnicę tę pokazano na rys.49.

Rys.49. Zmiana wymuszenia drgań układu dla symulacji sygnału wyjściowego
.

Po wyznaczeniu x⁽¹⁾(t) należało by przeprowadzić ponowny eksperyment przy tym sygnale wejściowym i wyznaczyć
. Tutaj
wyznaczamy z rozwiązania równań różniczkowych:

^{Otrzymany wynik pokazano na rys.50.}

Rys.50. Porównanie sygnału pożądanego
z otrzymanym w wyniku symulacji
.

Jak widać po krótkim okresie procesu przejściowego (5s) wynik symulacji jest poprawny, zaś niewielkie odchylenia powstały wskutek błędów cyfrowych.

35

J. W. Osiecki: Badania pojazdów samochodowych

---