0404

405

§ 2. Funkcje uwikłane

Jeżeli uwzględnimy to, że y_m = ę, x₂, . ■ ■, y_m-1), to wszystkie elementy otrzymanego wyznacznika z wyjątkiem elementów ostatniego wiersza i ostatniej kolumny okażą się

równe pochodnym cząstkowym funkcji 0j względem y₁,y₂.....y_m-1 • Mianowicie wobec

(11), różniczkując 0j względem y_y,y₂.....y„~i jako funkcję złożoną (posługując się

przy tym regułą z ustępu 181) otrzymujemy dla j—l, 2, ..., m— 1:

00 j    dFj    8Fj    d<p    80j    8Fj    8Fj    8<p

dy i    dy i    8y_m    8y/    dy_m_i    8y„._t    8y_m

Dalej, jeżeli zróżniczkujemy względem y_t, y₂, ..., y_m-₂ tożsamość (8)(¹), to okaże się, że

dF_m | dF„' 8<p    8F_m ^ 8F_m 8ę

8yi    8y_m dyi    ’    8y_m__l 8y_m dy_m__t

Tak więc wszystkie elementy ostatniego wiersza przekształconego wyznacznika J z wyjątkiem ostatniego elementu są równe zeru. Ostatecznie

801	80t	8Ft
8y i	tym-l	Sym
80 2	80 2	8F2
8y i	dym-i	8ym
	d*m-l	dFm-l
8y i	2ym-i	Sym
0	0	8Fm
		8y m

Rozwijając ten wyznacznik według elementów ostatniego wiersza otrzymujemy wynik

J=J*

W*

Sy_m'

Przyjmijmy tu x₁=x°₁, x₂=x₂, ..., y„-i=y%-i; funkcja y_m=p(x₁, ...,y_m_i) przybiera wówczas na mocy (9) wartość y°. Ponieważ dla tych wartości zmiennych jakobian J jest z założenia różny od zera, więc również różny od zera musi być jakobian J*, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Dla układu (10), zawierającego m — 1 równań, dowodzone twierdzenie jest zatem na mocy założenia indukcyjnego prawdziwe. Tym samym układ ten w otoczeniu punktu x\,..., określa jednoznaczne funkcje (12) ciągłe i mające ciągłe pochodne. Oprócz

(') Jeżeli funkcja złożona występująca we wzorze (8) z lewej strony jest tożsamościowo równa zeru, to jej pochodne cząstkowe względem dowolnego argumentu są oczywiście także równe zeru.