0484

485

§ 3. Styczność krzywych

jest tożsamością względem a. Różniczkując tę tożsamość otrzymujemy [181, 185]:

(4)    F'_xdx+F'_ydy+F'_ada =0,

przy czym pochodne są tutaj obliczone dla wskazanych w (3) wartości argumentów, a dx i dy są różniczkami funkcji (2).

Postaramy się teraz wyrazić analitycznie to, że obwiednia jest styczna w punkcie (2) do krzywej (1). Styczna do krzywej (1) (patrz ustęp 230, (5)):

(5)    F'_x(X-x)+F'_y(Y-y)=0

i styczna do krzywej (2) [230, (7)]:

(6)

X-x

dx

Y-y

dy

powinny się pokrywać. Warunek pokrywania się tych prostych można napisać w postaci

(7)    F_xdx+F'_ydy=0.

Tutaj także x i y mają wartości (2), a dx i dy są różniczkami funkcji (2).

Zauważmy, że równania (5) i (6) przedstawiają styczne do krzywych tylko wtedy, gdy rozpatrywany punkt nie jest osobliwy. Mimo to, równość (7) zachodzi nawet w tym wypadku, gdy punkt ten jest osobliwy dla pierwszej lub drugiej krzywej.

Porównując równania (7) i (4) i uwzględniając przy tym, że da jest dowolną liczbą, widzimy, że F'_a—0, czyli w postaci rozwiniętej

(8)    F'_a(ę{d), y/{a), a) = 0.

Tożsamości (3) i (8) pokazują, że szukane funkcje (2) muszą spełniać tożsamościowo względem a układ równań

(9)    F(x,y,a) = 0, F'_a(x, y, a) = 0 .

Zatem jeżeli obwiednia istnieje, to jej równanie parametryczne (2) otrzymujemy rozwiązując względem x i y układ (9). W przypadku gdy ten układ przy zmiennym a nie ma w ogóle rozwiązań w postaci funkcji zmiennej a — obwiednia oczywiście nie istnieje.

Załóżmy teraz, że znaleźliśmy rozwiązania układu (9) otrzymując równania (2) przedstawiające krzywą bez punktów osobliwych!¹). Czy krzywa ta jest obwiednią danej rodziny krzywych?

Ponieważ funkcje (2) spełniają równania (9), więc spełnione są też tożsamości (3) i (8). Różniczkując pierwszą z nich otrzymujemy równanie (4), które łącznie z tożsamością (8) daje równanie (7). Jeżeli punkt (2) dla żadnej wartości a nie jest punktem osobliwym odpowiedniej krzywej rodziny (1), to równanie (5) rzeczywiście przedstawia styczną do tej krzywej rodziny. Z równania (7) wynika wówczas, że styczna ta pokrywa się ze styczną

(6) do krzywej (2). W tym wypadku krzywa (2) jest więc rzeczywiście obwiednią rodziny.

(^l) Gdyby istniały oddzielne punkty osobliwe, to ograniczylibyśmy się do przedziału zmienności parametru, który nie zawiera wartości odpowiadających punktom osobliwym.