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Opracował: Andrzej Kaczyński

CAŁKI

POCHODNE

I Podstawowe twierdzenia

(oznaczenia: a,b,c,C,k, p,q- stałe; neN; f,g,F- funkcje)

f(x+h)-f(x)

łt—>0

J/ = F + C o F' - f (dalej stałą C opuszczamy)

)/ ^L[^(-01 = /^(6)-^(a)

<7

i)a) («•/)’-c-f ; •>)(/+*)’=/'+«'

l)a)    jc-f = c- ff ;b) \(f±g)=\f±\

\c-f = c-\f ;    J(/±g)= \f±\g

3) I

\g)

=° f'g~f'g'

g^z

>

f J \    5*0

U)

4) {g^cfj =(g'°/)-/'

4) c.p.p~

/(>)■“

f'{x}dx = du

2) =

»=r‘(x)

2) Jg(-*)«k =

O

A

P, -/:

-r = /(//)

/W-

f [x}dx=du: -

<żr = f (u)dti;

:= ćiv -r b = w. a * 0:

p

“i/*

a

aj/t = fg(/(«))-/'(")^«

f/*-/' = i

f c

-I

/’»/

II Użyteczne wzory

WI

*>    6 Lnu

a = e

W2

O

Tl: sinajc cos^jc cosaxcosbx sinaz-sinó-r

= 0,5 j~sin(a + 6);c +sin(a-6).v = 0,5 rcos(ć7 + A).r + cos(a-6)z = 0,5 cos(a-6).r-cos(a + /5)z-

T2 : l + cos.t = 2cos’ —

2

l -cos* = 2sin' —

?

T3:sin^:,t=-—-cos2^ D> sin⁴x =— (cos4jc-4cos2.x + 3)

8

cos^:jt = —+—cos2jc t> cos⁴ x =-(cos4.x + 4cos2jt + 3)

T-H
sin\r + cos”.r = 1	cosh^:.r -sinh^:.r = 1
2 sin .r cos-t = sin 2x	2 sinh .t cosh x = sinh 2.t
cos^1 x — sin’ .T — cos 2x	cosh^:jc + sinh^1 .t =cosh2.r
cos ^1 .r = I + tg\x	cosh '^1jr = l-tgh\r

1

c-p.cz.: j/'-g = /-g- j/*g' ;    J/'-g = [/-g£- J/'g'

a