analiza02a

10. Obliczyć w przybliżeniu wartość sin 0,5 z dokładnością 0,001.

11.    Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji f(x) = sfx w punkcie xq = 27 i za pomocą tego wielomianu obliczyć w przybliżeniu wartość ^26- Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.

12.    Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami:

a) y² = x²(4 - x²)    b) y = x² sin 2x , y = 0 , x = 0 , x = |

c) y = x³e~^2x , y = 0 , x > 0    d) y = x^p , x = 3/^p , p > 1

^{e) y=}^+Ł+3^{1 y=o} -^{x=o (x>o)}-

13.    Obliczyć objętość bryły, która powstaje z obrotu wykresu funkcji f(x) dookoła osi OX dla x € (a, 6]

a) f(x) = In x dla x € [0,1]    b) f(x) — xe~^2x dla x € [0, oo).

14.    Obliczyć długość wykresu funkcji f(x) lub krzywej danej parametrycznie:

a)    f(^x) = ln(l - x²) dla x <= j^0, ^1

b)    a:(£) = a(l + cost) cost, y(t) = a(l + cost)sin£, t € [0, 7r] gdzie a>0

c)    x(ł) = a (cosi + tsint) , y(t) = a(sin£ — tcost), t € [0, 27r] gdzie a > 0.

15. Zbadać zbieżność szeregów:

„2

^a) E^>

n=l

hi rtUL

^} Sn*+3

0 E

71 ln 7i

16. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego i zbadać zbieżność na końcach przedziału zbieżności

oo c_i\n

b)

°° _ni

_aj y' __xⁿ    ,

n=ó 2”    „^₀2ⁿ + n    _r^₀(n+l)!

oo 2ⁿ

^c) E , i'!¹” i j^ak^a to jest funkcja.

17. Dla danej funkcji / : £ —» S wyznaczyć funkcje f⁺(x) i / (x) oraz obliczyć całki: / f⁺(x)drn(x),

E

J f~(x)dm(x) i / f(x)dm(x) jeśli dwie poprzednie całki są skończone :

a) f(x) = sgn(2x), £=[-2,4] c) f(x) = cos x, E = [0, 2n]

b) f(x) = x — 2 Ent(x), £ = [—4, 2] d) /(*) = Xj_₁. ]_](*)-2X|!. ₂j (^x), E = \

18. Obliczyć pole następujących obszarów płaskich:

a) E = {(ar,y) € R² : 0 < y < x²e“^|z|, x € R} b) E= {(x,y) € R² : 0 < y <    x 6 R}

19. Obliczyć objętość następujących obszarów D C R³: a) D jest ograniczony wykresami funkcji f(x, y) =

1 + 2x

V^x + V

g(x, y) = 0 określonych na

£ = {(x, y) € R² : 0 < y < x², x <E [0,1]}

b)    D jest ograniczony wykresami funkcji f(x, y) = \/l — y² i y(x,y) — 0 określonych na £ = {(x,y) € R² : 0 < x < y, [0,1]}

c)    D jest częścią kuli x² + y² + z² < AB² leżącą w walcu x² + y² = U?.