Ciagi strX 59

38    vi avii uaaowR

U waga. Granicę lim a„ oznaczamy przez liminf.x„ i nazywamy granicą doli) cii|gu {.x„}, zaś granicę lim /i„ oznaczamy przez limsup.v„ i nazywamy uroili flórną ciągu {*„}.

26. Pokazać, że dla dowolnego ciągu ograniczonego jaj zachodzi; I inf{a_n;neif^!3} liminfa, < limsupa„ $ sup{a„:nel*i)}.

27. Wyznaczyć granice dolne i , a) = (-!)",	górne następujących ciągów: b) b,=(-iru-ir+i], i d) dB = siny.
28. Pokazać, że jeżeli lim a„ =	a. to Um |ci„| = \a\. .. 1 _
29. Pokazać, że jeżeli lim |aj =	= oo, to hm - = 0.
30. Udowodnić, że jeżeli lim i	3„ = 0 oraz a„ > 0 (an < 0) dla nś
i ^- = oo^lim -ooj.
31. Udowodnić, że jeżeli lim an t zbieżny do a.	= a(aelR), to każdy podciąg ciągu {j|
32. Zbadać, czy następujące ciągi są zbieżne:
a) a„ = ( — l)"n,
^c)c‘~ ^1+nTT“^!T'	^d) ‘'■“(^1+ń)"^U ł
33. Wyznaczyć granice podanych niżej ciągów:
b) />„ = n [In (n + 3)—ln n],	c) ^= aretg ■
	■ --{R-Y

Część B

,M. Pokazać, żc jeżeli ciąg liczbowy {«„} jest zbieżny (do granicy właściwej "“właściwej), to ma on wyraz najmniejszy lub największy. jł5. Element aelft będziemy nazywać punkiem skupienia ciągu {«„}, jeżeli leje podciąg tego ciągu zbieżny do a.

J Pokazać, że jeżeli {aj jest ograniczony, to wśród jego punktów skupienia Aleje największy i najmniejszy.

J Ui, Pokazać, że ciąg {«„} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie Mgłl punkt skupienia.

,17, Pokazać, że jeżeli {aj jest ciągiem ograniczonym, to liczby lim sup u„ U lim infri, są punktami skupienia tego ciągu.

1H. Pokazać, że granica górna ciągu ograniczonego jest jego największym Wffn skupienia, a granica dolna — najmniejszym.

»'», Pokazać, żc ciąg {aj ograniczony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lulu,, lim sup a_n.

t», Wyznaczyć granicę dolną i górną następujących ciągów:

n²    27i n

l+n^iC°^S~3~’

II, Niech {uJ i {/)„} będą ciągami ograniczonymi. Pokazać, że:

Hl lim inf«_ll'|-lim inf/i„ < lim inf(a„ + ó„) ^ liminfa„+limsupó_B, tł) lilii lnl «_B + lim sup h„ < lim sup (a„ + b_n) ^ lim sup a„ + lim sup b„.

I 41, Pokazać na odpowiednich przykładach, żc nierówności w zad, 41 mogą P»IN,I„

41 Udowodnić, żc jeżeli ciąg {aj jest zbieżny, to dla dowolnego ciągu ■HUtli żmii i'0 |/>J są prawdziwe związki:

I H| lim sup(a„ I b„) = lim n„+Iimsup/j_n,

In lim sup(ujij - lim a„ limsupó_n.

M I iiliiwmliilć, żc ciąg {sin/ij nic ma granicy.