MATEMATYKA163

316 VI, Ciągi i .wręgi funkcyjne

316 VI, Ciągi i .wręgi funkcyjne

keje:

PRZYKŁAD 3.6 Rozwiniemy w szereg Maclaurina fun-

a)f(x) = ~, b)f(x) = 2-^.

a)    Funkcję tę możemy traktować, jako sumę szeregu geometrycznego o ilorazie q = -x i a=2. Szereg ten jest zbieżny jedynie, gdy |q|< 1. Otrzymujemy więc

— = 2-2x+2x^J-2x’+--- dla xe(-l,l),

_T^ = 22(-l)ⁿx” dla x 6 (—1,1).

n=0

b)    Funkcję tę zapisyjemy w postaci

1 ₌ 1/2

2-3x l-3x/2

•    3x

i traktujemy ją, jako sumę szeregu geometrycznego o ilorazie q =— i

pierwszym wyrazie a. Otrzymujemy więc

1 _ _L v (-Y-* 2-3x~ 2^-V

n=0

1

³'V dla xe(-f,f).

PRZYKŁAD 3.7

a) Niech f(x) = ln(I + x). Wówczas

f'(x) = r^-=Z(-l)V ^dla

(I-O

Całkując od 0 do x, dla x e (-1,1) otrzymujemy

1_₌ '

Y

(1-0

ot> X

0    n O o

a stąd

n 0

ln(1+x) = y'(-l)°—Ł-_rxⁿ*¹ dla xe(-l,l>, n+1

gdyż ten ostatni szereg jest również zbieżny dla x = 1. W szczególności dla x = 1 mamy (por. przykł. 3.2, rozdz. VI):

a ^n+l

1

b)    Ponieważ, zgodnie ze wzorem (3.8), dla x e(-oo,+oc)

^S'^{n X =} ^ (2nVl)T^xl” '•

więc różniczkując ten szereg wyraz po wyrazie otrzymujemy (3.10) cosx = £(-l)"^yyX²" dla xe(-°c,+oo).

c)    Niech f(x) = cos² 3x. Wówczas f'(x) = -3sin6x. Ponieważ

-3sin6x=-3f;₇|^r_;(6x)^¹, xe(-x,+oo),

a(²ⁿ⁺¹)^!

więc całkując od 0 do x, dla x €(-qo,+qo) otrzymujemy

j-3sin 6xdx = -3^ n + 1)! 1 ^^6x^" '^dx»

a stąd

«0    2b*-2

cos²3x[ = 3K-r'6-^)!

n=0    ^v    *

Ostatecznie

tał 3x = 1 + lS^C-ir¹^    ^dla xe(-x,+x).

n»0    '    ''

Można inaczej:

oot²3xa~(l+tios6x)

Korzystając ze wzoni (3.10) mamy

co»^!3x4(l₊i(-Dⁿ^).

o*0

(2n)t

czyli

cos

;²3x=l+£(-l)ⁿ^iX²ⁿ ,    x€(-flo.-w>).