img014

14

^ri^,r2"** * ^{A zetew} zbieżność cięgów punktów    zbioru Z do

punktu geZ jeet równoważna tinu, że w dowolnej kuli otwartej o środku w g leżę wszystkie punkty cięgu    poczęwszy od pewnego nu-

meru, tj, prawie wszystkie.

Teraz bardzo prosto możemy udowodnić twierdzenie o jednoznaczności granicy cięgu w przestrzeni metrycznej (Z,d).

Twierdzenie 1.1. Oeśll cięg    elementów zbioru Z na granicę

to Jest ona wyznaczona przez ten cięg w spoaób Jednoznaczny.. Innymi eło «y. cięg zbieżny nie może wiać dwóch różnych granic.

4    jat    O    4    O

Dowód. Przyouśćmy, że lio x « g i li* " • _g, przy czyw a t o

m—«*o    m— oa

Wówczas r « d(J,§) >0 i *^) n K(j ,5) « P. Punkt g Jest granicę 12    i r

Cięgu x,x,,,., zatse poza kulę K(_g,-j) znajduje się co najwyżej skończona ilość Jegp wyrazów. W konsekwencji, do kuli K(|.£) "Sżs należeć co najwyżej skończona ilość wyrazów cięgu x,x,.... co jest sprzeczne z przypuszczeniem, że lim x « 9. A więc g ® g» ^Co. kończy dowód twierdzenia.

Zaznaczmy, że pojęcie cięgu zbieżnego Jest bezpośrednio zwięzane z przestrzenie metryczne, o więc o tym czy dany cięg jest zbieżny (i ja ke jest jego granica) decyduje zarówno zbiór Z, jak i metryka d. froże się bowiem tak zdarzyć, że cięg jast zbieżny w przestrzeni (Z.d), ale nie jest zbieżny w przestrzeni (Z,d^). Podobnie, dany cięg może być zbieżoy w przestrzeni (Z.d) i równocześnie rozbieżny w przestrzeni

Uwaga. Zdanie "cięg    Jest rozbieżny w przestrzeni (Z,dJ

jest równoważne zdaniu “cięg    nie jest zbieżny h przaatrzenl

(Z.d)“.

Przykład,

W zbiorze liczb rzeczywistych R wprowadzamy dwie mstrykit jednę określony wzorem d(x,y) » lx - yi, drugę zaś dyakretnę, Wówczas cięg _neN Jest zbieżny do zera w przestrzeni (R,d), ale jeBt rozbieżny w przestrzeni dyskretnej (ft,d_d) (dlaczego?). Łatwo też stwierdzić, że cięg ten jest rozbieżny w przestrzeni (R*,d) miuo, że Je?< wiemy Jest on zbieżny w (R,d).

Definicja i.3. Oeśli (Z,d) i (Z,d„' aę przestrzeniami metrycznymi, to mówimy, że d i d^ sę metrykar-i    poważnymLjeśli każdy cięg

i.l,... elementów zbioru Z zbieżny do <j sZ w mensie metryki d jest zbieżny i tc również do elementu g k sennie metryki d^ 1 na odwrót.

Innymi słowy, metryki d i d^ sę równoważne, Jeśli dla każdego ei*-gu I,?,..., i każdego g £. Z spełniony jest warunek