img022

22

jedli ¹4-0 i y^O. to

.²(¹) - f(y)l 4 lf(^x) ♦ ¹(v) • -J77J, ♦ fj-y 4 i^xł ♦ v •

• -x ♦ y 4 |x-y |,

fi przypadku, gdy x^0 i y^C lub x >, O i y^O dowód prowadzimy podobnie 'rao/na też wykorzystać nieparzystość funkcji f).

f (_x]

Ad (b) . Zauważmy, ze jeśli x ^.0. to x «    ^: W ‘ ■■■ . Ooćli zaś x40,

f /• >    i“^T <. x j

to X = yTT^'¹¹' • ^2atem« jeśli x    i y^O, to

^|x - vl -    - T=łfrrl ^1    4 c’^2|f(x)

- f(y) !

Załóżmy teraz, że x^0, y ^0, Wówczas

I x - yl< I x I ♦ y • jffiylr ♦    -4 c"²|f(x) - f (y)|

Rozważenie pozostałych przypadków zostawiamy czytelnikowi.

Twierdzenie 2.1. W zbiorze liczo rzeczywistych R, metryka k_artezjsó-s¹ca d_k 1 metryka p (zobacz wzór (2,2)) sę równoważne.

Dowód. Niech lim x «¹ g w sensie metryki d. , tzn,

P-¹0© Ł

A V A jx - g|< C

€ > O ncN tCN,

ra > n

Ale, zgodnie z (e), taay p vX_B.fl) • If(x_B) - f (fl)U ^łxa*9' • Zatem

A	V	A p (x ,g) < £
£>0	n e N	1CN ^1
		m > n
co oznacza, Ze	lim x B-woO	* fl w sen6ie metryki p
Niech teraz	lim x	■ g w sensie metryki p . Zeuważoy, że lf(x)l ^1

m—.e® m    •

1

'rtT7T^{<1 dl1 xCR} (zobacz (2.1)). Przyjmijmy więc, że H(g)l<l-2c, gdzie c e (0,-|) i niech £ bfdzie dowolny liczbę dodatnią. Wiomy, że istnieje wskaźnik ncN taki, źe p (x_B,g) - I f (z^)-f (g) | < min(e.c) .c² óla m>n, Stęd otrzymujemy, że

l^f (%) I 4 |f(g)| ♦ ®in( C,c) c²^|f(g)| ♦ c<l - c

2

^y,afflV tez |f(g;}<i-2c < 1-c. A zatem, na podstawie własności (b) funkcji

f» ale m > n otrzymujemy