img024

24

w szczególności cięg 1,2,3,... ma w przestrzeni    granicę równę

*ao, al© n przestrzeni euklideaowej Ej » E* ten sam cięg jest rozbież-

^ny'    .    i

Zaznaczmy. że żaden cięg liczbowy nie noże mieć w przestrzeni Ej - E

granicy równej ♦ o© albo -o©.

Ciqg łuncłamenfałny i przesłrzeń zupełna

1 2

Oefinicja 2,2. Cięg punkców x,x,.«. zbioru 2 nazywamy cięgiem fundamentalnym »> przestrzeni metrycznej (Z.d), jeśli dla dowolnej liczby e > 0 istnieje liczba naturalna n»n(c) taka, że dla wszystkich liczb na** turainych kil takich, że k> n i l>n, spełnione jest nierówność d(x ,if) < £ .

Definicja 2.2 jest oczywiście równoważna następującej? cięg elementów    zbioru Z jest cięgiem fundamentalnym w przestrzeni me

trycznej (Z,d) wtedy i tylko wtedy, gdy

A V A «(*i^k.">*e

£>0 ncN «, k e N..

B > n

Cięg fundamentalny nazywany jest również cięgiem podstawowym, ci£-giem Cauchy*ega^, albo cięgien spełnia jęcytn warunek Cauchy'ego.

Twierdzenie 2.2. w przestrzeni metrycznej {Z,d) każdy clęg zbieżny jest cięgiem fundamentalnym,

« Dowód. Deśli lim x » g, to wszystkie punkty cięgu U.... Poczęw6zy od pewnego numeru, np. o wskaźnikach I>n, leżę w kuli K(g, *) , tzn.

d(x,g)<§ dla l>n    (2.3)

Przyjmujęc w powyższym wzorze 1-k, otrzymujemy

d(x.g)<f dla k> n    (2.4)

^Augustin Louis Cauchy (21 VXli 17^9 - 23 V 18^7} - matowetyk francuski, twórca współczesnego, ścisłego wykładu er.alizy roe tema tycznej opartego na pojęciach granicy i ciągłości funkcji. Zajmował oię wezyatiiiwl niemal ówcześnie rozwijanymi działami matematyki, szczególnie zaś analizą matematyczną, teorią funkcji zespolonych i równaniami różniczkowymi. To Cauchy piarwezy podał poprawny dowód wzoru Taylora. Zajmował eię też mechaniką, astronomią i optyką* Jest autorem ponad 50^ prac naukowych.