img027

27

Twierdzenie o odwzorowaniach zwężajqcych

Niżej 8formułujemy i udowodnimy twierdzenie odkryte przez jednego z największych matematyków polskich - Stefana Banacha¹. Dlatego noai ono nazwę twierdzenia Banacha o odwzorowaniach zwężajęcych lub twierdzenia Banacha o punkcie niezmienniczym.

Twierdzenie 2.4. Deśli (Z,d) Jeet przeatrzenlę zupełnę i operator f:Z —► Z jest zwężajęcy w Z, to istnieje i to dokładnie jeden punkt a cZ taki. Ze

f(a) ■ a    (2.8)

Punkt a spełniajęcy równość (2.8) nazywamy punktem niezmienniczym operatora f.

O o w ó d. Niech xtZ. Rozważmy cięg punktów

5 - f(ⁿx^X)    (a«l,2,...)¹    (2.9)

Z nierówności (2.5) wynika, ze (w naszych rozważaniach dj ■ d₂ - d)

d("x¹,x) - d(f(5).f(V)) ^ g.dC;.";¹) 4 ... d(M)

Stęd, opierajęc się na nierówności trójkęta, dla dowolnych liczb naturalnych alk mamy

d("{^k.S) 4    . d(¹i^k1ł,"^łS¹²) . ... - dt";¹,?)¹

^    ^k-»d(ł,S) ¹ q~^k-²d(J,S> ..... q"d<ł.S> -

(q^^k“l^^k“² ♦ ...♦ q")d(M) - ai-j-gll. d(ł.¹K    <¹<M)

«m+k

T

(korzystaliśmy tu ze wzoru na sumę wyrazów postępu geometrycznego).

Ponieważ q jest liczbę mniejezę od jedności, więc _m1i^q¹ ■ O i 2 ostatniego cięgu nierówności wynika, źe d(®x^k,x) jest dowolnie bliskie zera dla dostatecznie dużych m, a to oznacza, źe cięg x, jest fundamentalny w przestrzeni zupełnej (Z,d). Zatem jest on zbieżny, czyli lim x ■ atZ,

BI -- ^

Ale operator f jest clęgły w Z (bo jest zwężajęcy), więc przechoę dzęc do granicy w równości (2.9), gdy m -¹oo otrzymujemy

1

3 t e f o ,-i .'Sanach ( 30 III 1892 - 31. /III 19¹3) - matematyk polaki, jeden z twórców Polskiej Szkoły Matematycznej, autor blisko 60 prac naukowych, znany r.a całym świecle ze swych wyników w dziale matematyki zwanym analizą funkcjonalną. Zajmował si<j też i innymi działań.! ma tema tyki, do których należą: teoria funtocji rzeczywistych, teoria szeregów ortogonalnych, teoria miary i opisowa teoria mnogości.