img065

Wykład 6

Kryterium różniczkowalności

Badanie róźniczkowalności funkcji wprost z definicji 5-3. Jest zwykle trudne i rachunkowo dość żmudne. Wiemy Już (zobacz zadanie 5*5), że istnieję funkcje, które sę rózniczkowalne, ale ich pochodne częstkowe nie są cięgle. Okazuje się Jednak, że cięgłość pochpdnych częetkowych Jest warunkiem wystarczającym dla różniczkowelności.

Twierdzenie 5.1. Deśli pochodne częstkowe (^k • l,...,rv) funkcji

“■    ^k n

rzeczywistej f istnieję nie tylko * punkcie acR , ale i w pewnej kuli K(a,r), zaś w punkcie a są cięgle, to funkcje f Jest różniczko-walne n punkcie a.

Dowód tego twierdzenia poprzedzimy dwoma lematami, które odnoszę się do funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej.

lemat 1 (Rolle 'a ^Zl). Oeśli funkcja fj4a,b> -* R Jeet cięgła w<a,b> i różniczkowalna wewnętrz tego przedziału oraz f(a) * f(b) » C, to istnieje taki punkt ce(a,b), w którym pochodna funkcji f jest równo zero.

Dowód, Ponieważ funkcje f jest cięgła w <8,b> ₍ więc osięge ona w tyra przedziale wartość największę i wartość najmniejszę (zobacz twierdzenie 4.6). Przynajmniej Jedna z nich, na przykład wartość największa, jest osięgnięta w pewnym punkcie c naleźęcym do wnętrze przedziału <a,b>, tzn.

V A f(x) - f(e)40

ce(e.b) xe<a.b>

Michel Rolle (gi IV 1652 - 8 XI 1719; - matematyk francuski, który zajmował aię głównie algebrą, © dokładniej równaniami algebraicznymi, lył on znanym krytykiem analizy Deacarteaa i rachunku nieskończenie małych Leibniza,