Skrypt3

Również przy badaniu ekstremów funkcji rachunek różniczkowy oddaje nieocenione usługi. Podstawą badania ekstremów⁷ funkcji różniczkowanych są następujące dwa twierdzenia:

Twierdzenie 3.7 (warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x_n i ma w tym punkcie ekstremum, to

/'(* o) = 0.

Warunek f'(x₀) - 0 jest jedynie warunkiem koniecznym. Oznacza to_: że spełnienie tego warunku nie gwarantuje jeszcze istnienia ekstremum. Natomiast niespełnienie warunku gwarantuje, że ekstremum nie ma (oczywiście w⁷ punkcie x₀). Pozwala to sprowadzić poszukiwanie ekstremów⁷ funkcji różniczkowanej jedynie do rozwiązań równania f'(x₀) = 0 . Dalszej analizy⁷ w ten sposób wyselekcjonowanych punktów dokonujemy posługując się twierdzeniem:

Twierdzenie 3.8 (warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma pochodną w pewnym otoczeniu U_u punktu x₀, a ponadto

f'(x) >0 dla * e Ly⁺ i f (x) < 0 dła x € U_x~

albo

f'(x) < 0 dla x eU_r ~ i f{x)> 0 dla x sU ~ to funkcja f ma w punkcie x_G ekstremum. W pierwszym przypadku jest to minimum, a w drugim maksimum.

Gdzie U,f = (x₀,x) o U_Xn i analogicznie U_x~ - (-co,x₀)nU_Xr. lub

Twierdzenie 3.8’ (warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma pochodną w pewnym otoczeniu U punktu x₀ oraz pochodną f"(x₀) ciągłą w punkcie x₀. a ponadto

/'(*„) = 0 i f"(x,)*0

to funkcja f ma w punkcie xo minimum, gdy f"(x ₀) > 0, natomiast maksimum gdy f”{xf) < 0 .

Ekstremum funkcji jest pojęciem lokalnym, opisujący zachow^ranie się funkcji jedynie w pewnym otoczeniu punktu xq i niezależny od zachow⁷ania się funkcji poza tym otoczeniem. Przeidźmy do przy⁷kładów⁷.

Zadanie 3.32 Znaleźć ekstrema funkcji x i-» f(x) = 2 + \2x - x\ Obliczmy pochodną f'(x) -12 - 3x⁴ = 3(4 - x²) = 3(2 - x)(2 + x) . Ponieważ funkcja / jest różniczkowalna w⁷ całym zbiorze liczb rzeczywistych R . w⁷ięc jedynymi punktami w⁷ których funkcja może osiągnąć ekstremum są punkty⁷ x_] - -2 i x₂ - 2 będące rozwiązaniami równania /'(*) = 0 .Połóżmy

U2 ~ (1*3) i U_₂ = (-3,-1). Ponieważ dla    xeU₂⁺=( 2,3) f'(x)< 0 , a dla

x € Uf - (1,2) f\x) > 0 , więc na podstawie Twierdzenia 3.8 funkcja / ma maksimum równe /(2) = 2 4-12 • 2 - 3 • 2^J =18. .Analogicznie pokazujemy, że w punkcie xq= -2 funkcja osiąga minimum równe /(-2) = -14 .

31