img084

84

84

n+1 rr.+ i'

x e < t_Q,t >

Funkcja g ma m+l krotne miejsce zerowe w punkcie    i przyjmuje

wartość zero w punkcie t. Zstem ma ona co najmniej m+2 zera w przedziale <t_0#t>. Stąd, na podstawie twierdzenia Rolle'a, otrzymujemy, że g' na co najmniej m+l zer w (c_Q.t) _# g" ma co najmniej ci zer w (t_Q,t) itd. W końcu, m+l. pochodna funkcji g musi się co najmniej raz zerować w przedziale (t_Q*t) • Istnieje więc punkt ^£(t_Q,t), w którym

o - 9⁽’^łl)(^) - f⁽*^łl)C$)--[»<*>-”«<'>]

(*-t₀)

Zatem

♦<0 • ".<*> ♦ TSTTrr

gdzie: £e(t_o#t).

Ostatecznie, korzystając z równości (7*8), namy

»(*) ' »<*o> * TT^(,-'o>^f'(^,o) ^ł •" ♦ |_T<^,-^to>“^f("⁾t^to>^łrf<*>

m+l*(m+l)    (7.9)

gdzie: rf(t) =*    (^t“^t0'    (f) * £e(t₀**)

Zupełnie analogicznie otrzymuje aię taką sarnę równość w przypadku, gdy t₀> t.

Wzór (7.9) nazywamy wzorem Taylora dla funkcji rzeczywistoj jednej zmiennej rzeczywistej, albo krótko wzorem Tylora dla funkcji jednej zmiennej, r^ zaś resztą wzoru Taylora w postaci Lagrange^a (zobacz też ćwiczenia).

Nietrudno też wyprowadzić następujący wzór Lagrange'o

f(t) . f' f (t. > -ŁLii- ♦ r,(t)    (7.10)

SS

gdzie: r_f(t) >    ...    (%) »

■ TSTiTT W(t)f("^łl>(|),^€(«₀.t)

W tym przypadku, r^ nazywamy resztę wzoru (interpolacyjnego) Lagrąnge *a.

Zaznaczmy, źe wzór (7*10) otrzymuje się analogicznie jak wzór Taylora. Należy tylko rozważyć funkcję g określoną wzorem