img088

88

Teraz udowodnimy ważne dla późniejszych rozważań twierdzenie o pewnej własności form określonych.

Twierdzenie 7.3. Deśll forma kwadratowa (7.li) Jost dodatnio (ujemnie) określona, to istnieje stała dodatnia C, tako źe

Q(h) > Clhl* (-ClhlJ; 4 Q(h))    (7*12)

dla każdego wektora hcRⁿ.

Dowód, Załóżmy, że forma kwadratowa Q Jest dodatnio określona. Ponieważ funkcja QtRⁿ—• R Jest cięgła w Rⁿ, więc osięga ona wartość minimalny na sferze S(0,l) (sfera S(0,l) Jest kompaktem w Rⁿ) równę C.

Z dodetniości formy Q wynika, że C Jest liczbę dodatnij, Ola IhI_n ^ 0 ■ emy jyf* I » 1, a zatem

Q(

c

i,J«l

'U

n

ekęd ^ ⁸iJ^hi^hj ^ ^c*^*n’ ⁸ to    wykazać, jeśli bontem Iht_n « o

i»J«l

to nierówność (7.12) Jest oczywiście spełniono.

Dsśll forma Q Jeat ujawnia określona, tc dowód nierówności

Clhlj; 4 Q(h)

Jest analogiczny 1 dlatego go pomijamy.

Ćwiczenia

7.1.    Znaleźć wielomian P₃ atopnla trzeciego spełniający warunki:

P₃(-2) • -17.    P₃(0) . 5,    P₃(l) - 7.    P₃(3) - 23

7.2.    Pokazać, że Jeśli funkcje fcc"*¹ (t₀,t₀*h), to wztr Taylora można ne.olsać w postaci

♦ i_ hⁿf^(m^(r ) ♦

m |    'o

• • •

f(t₀»h) . f(,₀> ♦ i,. hf(t_D) ♦

* T^rhrT ^h*^łl i^(h)

idzie lir. w (h) ■ O r - ► O