img094

94

aa pierwsze pochodne cząstkowe ograniczone « I. Ponadto zakładamy, że a²1

pochodna    letniej® i jest ograniczona w I oraz, że w zbiorze I

dla każdego ustalonego x pochodna    J^e9t ciągła względem y

oraz dla każdego ustalonego y jedt cięgłs względem x (oczywiście

v2_f

nie oznacza to cięgłości pochodnej    -$■- !). Przy takich założeniach,

o* oy    ~

w każdy* punkcie (x,y) e I istnieje pochodna g&-y- oraz zachodzi równość

STTT ^(x'^v) " aHl ^{(x,v) dla (x}'^y)cI

Powyższe twierdzenie, jak i jego dowód oparty na teorii całki, r.ożna znaleźć w ciekawej księżce C. Carothóodory ** pt, "Vorlesungen Ober rcelle Funktionen" (Leipzig und Berlin 1918, Verlag und Dru.ck vcn B.G, Trufcncr) na stronie 650,

Różniczki zupełne wyższych rzędów

definicja 8,2. Gęśli funkejs f:RⁿDK(a,r) —* R ma drugie pochodna

a²f

dx dx    w punkcie a, to różniczkę zupełnę drugiego rz<

du, lub krócej drugę różniczkę, funkcji f w punkcie e określamy w następujęcy sposób:

d(df}(a) - d

E % ^dxj)^(a) ■ E ^r( E % ^d,<j)^{(a> dx}i *

J»1    ³    /    1«1 Mjsl ^3    1

d²f

- L E a^"^^(a)dxi^dV

i*i J«i    ³ i oznaczamy symbolem c^<:f(a).

^Conatantin Carathoortory (13 i:' 1873 - 2 II 1950) - rjątciuatyt; niemiecki pochodzenia greckiego. Studiovoł \i Getyndze i -w Jorlinie. Dp niego należą -ważne rezultaty z teorii odwzorowań konforemnych, ogólnej teorii zbiorów i cal lei abstr akcyjnej, rachunku wariacyjnego .i innych d;:ia-iów matematyki. V roku 1909 Caz-athćodory podał noi/c sfor»aii: Wiune drugiej zasady termodynamiki, opierając je na teorii fox-n J.F. IfaTfa (22 kił 17^5 - 21 IV 1825), niemieckiego -ciutenatylca i astronoma.