img099

99

ma pierwsze pochodne cząstkowe w punkcie a i a Jest punktem ekstremum lokalnego, to

Warunek (8.6) Jest więc warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego funkcji f w punkcie a, ale tylko dla funkcji f najęcej wszystkie pochodne częstkowe pierwszego rzędu w punkcie a.

Ksżde rozwięzanie układu równań (8.6) nazywamy punktem Stacjonarnym funkcji f. Oeśli więc a Jest punktem ekstremum lokalnego funkcji f najęcej w a wszystkie pochodne częstkpwe pierwszego rcędu, to a jest punktem stacjonarnym f. Twierdzenie odwrotne nie Jest prawdziwe.

Przykład

Niech f:R²3(x,y)—► xy. Wówczas punkt (0,0) Jest punktem stacjonarnym tej funkcji, ale nie Jest on punktem ekstremum lokalnego, bowiem w każdej kuli o środku w (0,0) znajduję się punkty o współrzędnych (a,a), gdzie a ^ O, w których f ma wartość dodatnię oraz punkty c współrzędnych (a,-a), w których f ma wartość ujemnę.

Zwróćmy też uwagę na fakt, że istnieję takie funkcje f, że na każdej prostej przechodzącej przez poczętek układu współrzędnych f ma ekstremum w punkcie (0,0), a mimo to punkt (0,0) nie jest punktem ekstremum lokalnego.

Przykład

Funkcja fsR²3(x,y)—► (y-x²)(y-3x²) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (0,0), ponieważ w dowolnej kuli o środku w (0,0) znajduję 3ię punkty o W6półrzędnych (0,a), gdzie a ^ 0, w których f ma wartość do-

O    ^

datnię i punkty    o współrzędnych (a,2a    ),    w których f    ma wartość    ujemnę,    podczas g<$y    f(0,0) ■ 0. Natomiast    na    osi 0x mamy f(x,y) =» 3x⁴    a

a g(x), a więc g ma minimum absolutne w punkcie x » o. Na osi Oy mamy f(x,y) = y² • h(y) i również h ma minimum absolutne w punkcie y = 0. Oeśli zaś punkt (x,y) leży na prostej 1 o równaniu y ■ mx, gdzie

0    < | m i <oo, to

F(x) ■    f(x,«x) • («x-x²)(mx-3x²) ■ m²x² - 4m³    ♦ 3x⁴

1    F    ma minimum    lokalne w punkcie x «    0,    gdyż F^#(0) ■    0 i F*^#(0)    »    2m²>0.

Oeflnlcja 8.4. Punkt a nazywamy punktem silnego maksimum lokalnego (odpowiednio punktem silnego minimum lokalnego) fikcji f :R*i> K(a, r) —* R , Jeśli f(x)<f(a) (odpowiednio f(x) > f(a)) dla każdego x6K(a,r)\|»| .

Zauważmy teraz, że Jeśli a Jest punktem stacjonarnym funkcji f, to df(a) « 0 i o tym czy punkt a Jeat punktem ekstremum lokalnego ®oże decydować druga różniczka d²f(a), oczywiście w przypadku, gdy f Jest funkcję dostatecznie regulern#.