5 (1708)

1 punkt Funkcja / : R²

10.

pierwszego rzędu równe 0.

R ma w punkcie (1,1) obie pochodne cząstkowe

(a) / może ale nie musi mieć w tym punkcie ekstremum lokalne;

^ (b) jeśli obie pochodne mieszane drugiego rzędu funkcji / zerują się w tym punkcie, a pochodne ^ oraz ^4 są w tym punkcie obie niezerowe, to / ma w tym punkcie ekstremum lokalne;

'f' (c) jeśli obie pochodne mieszane drugiego rzędu funkcji / w tym punkcie się zerują a§^(l,l)-^£(l,l)>0, to / ma w tym punkcie ekstremum lokalne.

11.    1 punkt Niech funkcja / opisuje wysokość danego punktu nad poziom

morza. Opisz jaki jest gradient tej funkcji w następujących punktach: na przełęczy, na szczycie góry, na zboczu góry.

3 punkty

12.

ma:

Czy poniższe zagadnienie początkowe ma rozwiązanie i ile ich

x^/ — sin (t + e^tx);

*(0) = 1,

gdzie x € [—100, 100], t € [—100, 100). Uzasadnij posługując się twierdzeniami podanymi na wykładzie.

5