Scan0025

3.2 Elementy logiki pierwszego rzędu 33

3.2.1    Funkcje zdaniowe

Najprostszą formułą w logice pierwszego rzędu jest funkcja zdaniowa.

Definicja 3.3 Funkcją zdaniową nazywamy formułę złożoną z symbolu ■predykatów eg o i jednej lub więcej zmiennych umieszczonych w nawiasach. Zmienne te nazywamy argumentami predykatu. Predykaty jednoargumen-towe opisują własności, a predykaty wieloargumentowe — relacje.

Przykład 3.4

•    P (x) — własność: x jest liczbą parzystą, x jest studentem, x jest wysoki, ...

•    R {x, y) — relacja: x < y, x jest ojcem y, x jest starszy od y, x jest równoległa do y, ...

Funkcja zdaniowa ma budowę zdania oznajmującego, lecz nie można mu przypisać prawdy lub fałszu. Dopiero podstawiając za zmienne wartości otrzymujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.

Definicja 3.4 Zbiór, z którego możemy wybierać wartości zmiennych nazywamy dziedziną funkcji zdaniowej, a tę część dziedziny, która zmienia funkcję zdaniową w zdanie prawdziwe — zbiorem rozwiązań funkcji zdaniowej. Dziedzinę nazywamy także przestrzenią, zbiorem uniwersalnym lub krótko uniwersum i oznaczamy U.

Przykład 3.5 Zdanie

P (x) — ”x jest podzielne przez 2”, gdzie x G Z

jest prawdziwe dla x = 10, a fałszywe dla x — 13. Dziedziną jest zbiór liczb całkowitych TL, zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb parzystych P, przy czym P C Z.

3.2.2    Zmienne związane i wolne

Funkcję zdaniową można przekształcić w zdanie także poprzez związanie zmiennych kwantyfikatorami. Kwantyfikatory wiążą zmienne, które znajdują się w ich zasięgu, czyli w nawiasie otwartym zaraz po kwantyfikatorze lub w przypadku braku nawiasu, w wyrażeniu najbliższym kwantyfika-torowi.