img100

100

Przykład

Rozpatrzmy funkcje f:R²o(x,y>—*-x⁴+y⁴, gtR²p(x,y)—► -x⁴-y⁴ i htR²9 (x,y)—►x⁴-y⁴. Punkt (0,0) Je9t punktem stacjonarnym dla każdaj z tych funkcji oraz df(0,0) * dg(0,0) * dh(0,0) O. Nietrudno stwierdzić, że punkt (0,0) jest punktem silnego minimum lokalnego dla funkcji f,'punktem silnego maksimum lokalnego dla funkcji g i nie Jest punktem ekstremum lokalnego dle funkcji h. Rzeczywiście, funkcja f w dowolnej kuli o środku w (0,0), oprócz jej środka, przyjmuje wartości dodatnie, funkcja g zaś wartości ujemne, natomiast funkcjo h w punktach o współrzędnych (0,a), gdzie a | 0, ma wartość ujemny i w punktach (a,O) - wartość dodatnią.

Zauważmy też, że drugie różniczki d²f(0,0j, d²g(0,0) i d²h(C,0) 05 w tym przypadku formami kwadratowymi nieujemnyiai, Zatem, Jeśli a jest punktem stacjonarnym funkcji f oraz d2f(a) jest formy nieujemnę, to nie możemy, bez dodatkowych badań, np, różniczek wyższego rzędu, stwierdzić czy a Jest punktem ekstremalnym funkcji f. Taki sam problem niepewności mamy wówczas, gdy d²f(a) Jest form3 niedodatniy.

Z rozważań przedstawionych na stronie wynika

Twierdzenie 8,4 (warunek wystarczający istnienia silnego ekstremum lokalnego). Oeśli funkcja f;Rⁿi>K(a, ) —*■ R e.a cięgle pochodne cząstkowe rzędu tęzeciego w kuli K(a,f) oraz a Jest punktem stacjonarnym i druga różniczka d²f(e) jest formę kwadratowy określony dodatnio (ujemnie), to a Jest punktem silnego minifflum (maksimum) lokalnego funkcji t-.

W przypadku zaś, gdy d f(a) Jest formę nieokreślony, to a nie jest punktem ekstremum lokalnego.

Przykład

Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f:R³o (x,y,z) —*• x²*y²+z²--xy«x-2z najpierw obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu

(x,y,z) = 2x - y+ 1 f£    » 2y - x

|“ (x,y,z) - 2z - 2

a następnie znajdujemy wszystkie punkty stacjonarne, W tym celu rozwiązujemy układ równań

aa

2x - y ♦ 1 » O 2y - x • 0 ** -.2 ■ 0

{>tyd otrzymujemy, że jedynym punktem stacjonarnym funkcji f Jest punkt    Oalej mamyt    *