img100

(1)

Równanie (8-21) w rozpatrywanym przykładzie zapisuje się w postaci

EIv" = R.x —

P^x

P(x-a i)²

+ M(x —a₂)°

Całkując to równanie, otrzymuje się:

?    -X

X    X

Elv' =    ——p —

^A 2 ^r 6 3

EIv - Cx + D + R_a—_a--p^—

4    24

+ P

(X —Cł!)³

+ P

AC

24

+ M(x — a₂)

+ M

(x-a₂)²

(2)

Stałe całkowania wyznacza się biorąc pod uwagę warunki brzegowe:

a)    x = 0 -* v_A = 0 (ugięcie punktu A równa się zeru),

b)    x = / -» v_B = 0 (ugięcie punktu B równa się zeru).

Uwzględniając w równaniu (2) warunek x = 0, v_A - 0 (podstawia się do równania na odcinku AC), otrzymuje się D = 0, uwzględniając zaś warunek x = l, v_B = 0 (podstawia się do równania dotyczącego odcinka DB) — otrzymuje się

£7-0    °²

6 ^r 24 ^r 24

2 ’

a po podstawieniu oraz przekształceniu

Ostatecznie więc można zapisać równania:

,    3    13    /3 M\ x² x³

“ -128 " ⁺ 96 "^l+ 8 ^P|- T T ~^PT

13

M

+ P

(x-//2)³

128

96

/

24

+P

6

(*-//2)⁴

24

+ M[ x-—l

+ M

(x — 3//4)²

CD

DB

Z tych równań można wyznaczyć kąt obrotu ę oraz ugięcie v w dowolnym przekroju belki, uwzględniając odciętą x tego przekroju oraz część równania dotyczącą odcinka, na którym znajduje się rozpatrywany przekrój. Na przykład kąt obrotu ę_A (odcinek AC,x = 0) oraz ugięcie v_c (odcinek AC, x = 1/2) można określić z zależności:

<Pa=^z'>a =

El

128

pl³ +

i

~ei

i

£/

- J-pP₊-H-m/U ₊ fjw- - _Pi^

128 '    96    / 2 V 8 /j 6 ^f 24

- — p/⁴+ — Ml² ). 768 '    64

przykład 8-8. Obliczyć kąt obrotu <p„ i ugięcie v_B końca B belki jednostronnie utwierdzonej jak na rys. 8-14. Belka ma przekrój poprzeczny 12 x 18 cm, rozpiętość / = 2,0 m, _a wykonana jest z drewna klasy K33 o współczynniku sprężystości £ = 10000 MPa. Wartość charakterystyczna obciążenia p = 2,5 kN/m. Sprawdzić, czy ugięcie v_B nie przekracza wartości dopuszczalnej a_dop = 1/200.

Równanie (8-21) przyjmuje postać

EIv" = R_Ax+M_Ax° — p-

AB

Po scałkowaniu otrzymuje się:

Elv‘ = C+R_A-+M_Ax-p—

AB

4

EIv = Cx + D + R_a— +M_a— p —

Uwzględniając warunki równowagi:

a)    x = 0, (p_A = 0 (kąt obrotu na podporze A równa się zeru),

b)    x = 0, v_A = 0 (ugięcie na podporze A równa się zeru), otrzymuje się C = 0, D = 0.

Po podstawieniu R_A = pl, M_A = - —, a także C = 0, D = 0, otrzymuje się:

X¹ pl² x³

AB

EIv — pl-

pl² x² 2 2

X

-^P24

M - ^Pl

— ^m‘-T

hUO

A

Rys. 8-14

"□R_A=pl

t±L

i