img115

115

115

b ♦ b

d_N(B_rC)

d_N(^AiC) ■ a ♦ a* ♦ c ♦ c*

₉k?d natychmiast wynika nierówność trójkąta d_N(A_fB) ♦ d_N(B,C) >d_N(A,C) .

Przy oznaczeniach z rysunku 10, warunek trójkąta dla metryki Marczewskiego-Steinhauss wyraża się następująco:

a+e >b+b

>/

b+b*+c+c*

Po pomnożeniu obu stron ostatniej nierówności przez wspólny mianownik i uporządkowaniu wyrazów względem saleję-cych potęg liczby d, dochodzimy do nierówności oC d² ♦    * T >0, któ«

ra jest prawdziwa dla każdego d »0. gdyż łatwy rachunek pokazuje, że

cC >■ 0, (b >0,    > 0.

i.5. Cięg bj,b₂,... jest ograniczony, tzn.

V A ^b. *^M

M > 0    « c N

zaś lin a » 0 oznacza, że

A V A «v<S

e> 0 n c N ■ e N, s > n

o zatem dla m c N takich, że »> n rnsmy 1 a^b^l » 1 a^l .Ib^l ^ fj ^M *    ».

co oznaczę, że _lim ja b_ ■ °*

m —* cO ni *■

1.6, Niech A i B będę zbiorami domkniętymi, tzn. Cl^_z A - A oraz Cl^_{2 d}jB « B. Aby pokazać, ze Cl^_z ^(AuB) • Au B wyeterczy udowodnić inkluzję (AUB)^ d)^cAUB* ^która J^eat oczywista w przypadku (AUB)^_Z ■ 0. Załóżmy więc, że p jest punktem skupienia zbioru AuB. Oznacza to, źe istnieje cięg punktów    zbioru AUB, róż

nych od punktu p, taki że V

mli«P - p CZ

w sensie metryki d. Cięg    zawiera podcięg zawarty w zbiorze A

lub podcięg zawarty w zbiorze B. Stęd oraz z twierdzenia 1.3 wynika, ie p Jeet punktem skupienie zbioru A lub punktem skupienie zbioru B, a dalej z doakniętości zbiorów A i B mamy pcAuB,