img119

119

-({h(M)]². wmf 4k<^>]² *

A więc

{ktU)]² * [d₂(U>]²)^j[<vM)]² ♦ MJ>]²)⁴ ♦

*{[d_l(ii)]² ♦ [d₂(?.?)]²j^ł

co oznacza, że aksjomat trójkąta jeat spełniony.

3.3.    Załóżmy, że cięg {x}_meN - ((x_1#...,5_n)} _|eNcRⁿ jest fundamentalny w przestrzeni E_n. Oznacza to, że dla ksźdego e >0 istnieje n € N takie, że

d(x,x) ■ max I >L - x.l^® dla k>n i l>n

14U"

Stęd wynika, że I    ^c dla k>n i l>n (i * l,...,n)« Cięg

Jeat więc fundamentalny w przestrzeni , która Jak wynika

z kryterium Csuchy'ego (twierdzenie 3.3) jest zupełna. Zatem istnieje

g,e R takie, że lim x, » g, dla i ■ l,...,n.

^{1 1 ł}

Pokażemy, że _m liro x «* g ■ (g_1#...,g_n) w sensie metryki przestrzeni E_n. Istotnie, ponieważ _mliw 5^ * g_A, więc

A V A ^<e

e>0 p< e N m e N,

«>_Pl

Stęd wynika, że

A V

»ax | x. - gj< e

4*4"

/\    d("#9) •

ncN,    ¹

»> P

gdzie p ■ msx(p.....,p_), a to oznacza, że lia x ■ g.

^{1    n}    m-* oe

3.4.    Przypuśćmy, że wektory £,...,£ sę liniowo zależne, tżn. istnieje wektor a - («_1#...,a_n)c Rn taki, źe lal > O oraz

n

]P a_±ł - (0,...,0)€ Rⁿ i=l

Stęd, po porównaniu współrzędnych wektorów po obu stronach znaku równości, otrzymujemy a₁ ■ ... * a_n » O, co jest sprzeczne z naszym przypuszczeniem.