img123

123

	b	- .^a..\
1 ^	l.w	M)
Mamy też &<->■	2 a^2 '	^(p) - -dy	_2__ b^2
Teraz korzystamy	ze wzoru	(5.6)
Sr <^p>	» -2-'	\( ^b )	* /. 2 \/- ^a \ -
	\	'1 -J.w/	l •.dUC?)

2

“ SB

5.3. Me«ny rr~(t,u) ■ - —-57- # T" (t,u) " - -⁰' * , a zatem równanie dx    _t2_u oy    tu

płaszczyzny stycznej (zobacz wzór (5.5)) do zadanej powierzchni w punkcie (t,u) ma postać

JT ; z - - -f- (x - t) - -Łj (y - u) ♦ t^cu    tu*

Płaszczyzna JT przecina osie 0x, Oy i Oz odpowiednio w punktach A . (3t,0,0), B - (0,3u,0), C - (0,0, |£)

A więc objętość czworościanu OABC jest równa -j . £ . 3ltł. 3>u-■ a co należało wykazać.

5.4. Ponieważ

grad f(x,y,z) ■/--g ^*j—* . ^m~T~i—? *

\ x^z*y^z*z^z x^z+y^z^z^z    x^z+y^z*//

więc

2 -2 2

(grad f(x,y,ż), grad f(x,y,z)) -    'jPffiw - -5—5—5

(x +y +z ) x ♦y*>z

A zatem

2ln2 - ln(grad f(x,y,z), gred f(x,y,z)) ■ 2ln2 - ln —-—t—* *

x +y *z

■ 2ln2 - ln4 ♦ łn(x²*y²^z^Z) « f(x,y,z) co należało wykazać.

6.1. Nie zmniejszajęc ogólności rozważań możemy przyjęć, że A^B. Niech C będzie pewnę liczbę zawartę między A i B. Pokażemy, że f' przyjmuje wartość C w pewnym punkcie przedziału ^a,b>. Niech F(x) ■