img130

130

Wszystkie te punkty leżę wewnątrz koła K i dlatogo obliczamy wartości funkcji g w tych punktach:

(1) g(^Aj) » o, g(^A2) * g(^A3) ■ ? (b-c)² < a-c)² - g(^A4) » g(^As)

Należy jeszcze porównać otrzymane wartości g(A,), i ■ 1,2,3,4,5 z wartoś-

¹ 2 2 2

cłami g na brzegu koła K, który ma równanie x ♦ y - 1 lub y ■

■ 1 - x . Uwzględniając ostatnia zależność w przepisie funkcji g, otrzymujemy funkcję Już tylko Jednej zmiennej*

h: <-i,l> 3 x —w(a²-b²)x² ♦ b² - £(a-b)x² ♦ bl²

Problem wyznaczenia największej i najmniejszej wartości funkcji g na 2 2

okręgu o równaniu x + y • 1 został więc sprowadzony do zadania określenie wartości minimalnej i maksymalnej funkcji h w przedziale 4-l,l> « Obliczamy zatem pochodnę funkcji h:

h^#(x) - 2(e-b)²x(l-2x²)

Oej miejscami zerowymi sę punkty    ^x2 “ "    ^x3 * % które

nele2ę do przedziału (-l,l). Mamy też

h(-l) . h(0) - h(l) - O. h(-    - h(|^2) » |(a-b)²

Funkcja h osięge więc w przedziale <-l,l> swę wartość maksymalnę w punktach x₂ i x₃, a wartość    mlnlmalnę w    punktach    -i. O, 1* A zatem

funkcja g osięgs na okręgu o    równaniu x²    ♦ y² ■ i    wartość    maksymalnę

w punktach B_t - (-    ^ ^2), *₂ "    \ "ł?) » 83 - (| "(2.

“ £^2)# B₄ • (\    | lf2), a wartość ninimalnę w punktach Bg « (-1,0),

B₆ - (1,0), B_? ■ (0,-1), B₈ * (1,0), Mamy też

2) gfBj) - g(B₂) * g(B₃) - g(B₄) * £<e-b)², g(B_g) - g(B_g) •

■g(0₇) - g(B₀) ■ 0

wystarczy teraz wybrać największę i najmnlejszę z liczb i) 12), Wyno-

4    p

szę one odpowiednio ^ (a-c) (w punktach A₄ i Ag) oraz 0 (w punktach ^Al» ®5* ^B6' ^B7 * ^B8^ *

Najwiękezę i najmnlejszę wartościę funkcji f w    zbiorze    S sę więc

odpowiednio liczby* ^(a-c)² (w    punktach    0,    £^"2))    o^raz 0

(w punktach (4 l, 0, 0), (0, 4 1, O), (O, 0,_%+ l)),

9,1. Tworzymy układ równaó

f(x,u) « x³ 4 u³ - 3xu » 0 (x,u) = 3x² - 3u « 0