img250

12. REGRESJA WIELOKROTNA

W licznych badaniach biometrycznych obserwuje się równocześnie wiele cech charakteryzujących populację biologiczną. Cechy te mogą być (i na ogół są) wzajemnie zależne, w związku z tym istotne jest określenie siły tej zależności oraz jej wykorzystanie do przewidywania jednej cechy na podstawie innej. W pierwszej części skryptu rozpatrywaliśmy zależność między dwiema cechami (zależną i niezależną), opisując ten związek funkcją liniową — prostą regresji. Gdybyśmy mieli zespół trzech zmiennych Y, X,, X₂ i chcielibyśmy określać wartości cechy / na podstawie X_x lub X₂, to można to zrobić konstruując dwie funkcje regresji

y=/i(*i) oraz Y =/₂ (X₂)

i wybierając tę z nich, która jest dokładniejsza. Wydaje się jednak intuicyjnie jasne, że łączne wnioskowanie o cesze Y na podstawie wartości obu zmiennych X, i X₂ powinno dać wyniki lepsze (a już na pewno nie gorsze) niż rozpatrywanie pojedynczych związków.

12.1 Równanie regresji wielokrotnej

Rozpatrujemy zespół cech J\ Xj, X₂, ...,X_p o których zakładamy, że są określone na wszystkich elementach populacji. Liniowy związek między wartością cechy /-tego elementu populacji, tzn. y₄, a wartościami pozostałych cech tego elementu, tzn. X;, definiujemy za pomocą równości:

Yi = Po⁺ Pi *n + M.Z + -- + P, ^xi_P +    O²-¹)

Analizując powyższą zależność możemy stwierdzić (jest to uproszczenie), że dzieli ona wartość y, na trzy części:

—    część p₀ wspólną dla wszystkich elementów populacji.

—    części Pj X/j wynikające z „czystego” wpływu danej cechy,

—    część e, wynikającą z wpływu czynników losowych, specyficznych dla y_r, tzn. takich, które nie są związane z pozostałymi cechami.

250