img262

a-4 = -13,363 + 1.004*3

12.4 Współczynnik korelacji wielokrotnej

Do badania jakości uzyskanego równania regresji wielokrotnej można podejść także w nieco inny sposób. Na podstawie obserwacji cechy Y w próbie (>',) możemy obliczyć łączną sumę kwadratów S_yy, a w wyniku dopasowania równania regresji wielokrotnej możemy obliczyć resztową sumę kwadratów S_e. Różnica między nimi, mierzącą wielkość redukcji sumy kwadratów w wyniku dopasowania (umożliwiająca obliczenie wartości przewidywanych informuje o dokładności przewidywania. A zatem

suma kwadratów'		"suma kwadratów^^1		'suma kwadratów'
poza średnicą	=	w regresji	+	poza regresją
l J		redukcja		^ /

Jak widać z powyższego schematu, stwierdzenie „dobroci” regresji (czyli stwierdzenie, jak dalece dany model odzwierciedla rzeczywisty, uzyskany empirycznie układ punktów) sprowadza się do stwierdzenia, jak duża część sumy kwadratów w regresji (redukcji) pokrywa się z łączną sumą kwadratów (tzn. poza średnią). Użyteczną miarą tak rozumianej „dobroci" modelu regresji jest wielkość:

R = R

y.\2..._P

(12.16)

nosząca nazwę współczynnika korelacji wielokrotnej. Jest to współczynnik korelacji wartości obserwowanych iy), oraz wartości obliczonych (przewidywanych (y,), z równania regresji wielokrotnej, w którym uwzględniono zmienne niezależne *_lt x₂, .... x_p.

Można więc inaczej zapisać, że

Jak wynika ze wzoru (12.16) współczynnik korelacji wielokrotnej R jest liczbą nie-ujemną przyjmującą wartości z przedziału <0, 1>.

Osiąga on wartość 0, gdy S_yy = S_t, a zatem gdy w wyniku dopasowania równania regresji nie nastąpiła redukcja sumy kwadratów; natomiast wartość 1, gdy 5_C = 0, a więc gdy cała suma kwadratów została zredukowana.

Bezpośrednio ze wzoru (12.12) uzyskujemy jeszcze jeden wzór określający współczynnik korelacji wielokrotnej:

262