img264

Przy interpretacji współczynnika korelacji wielokrotnej należy pamiętać o wielkości próby. Czynnik ten odgrywa podstawowa rolę w tzw. zjawisku „kurczenia się prognozy”. Zjawisko to polega na przeszacowaniu wartości współczynnika R w przypadku prób mało licznych. Należy zaznaczyć, że zjawisko kurczenia się prognozy nie występuje dopiero wtedy, gdy liczba elementów próby jest duża, przynajmniej trzydzieści razy większa od niż liczba zmiennych.

Niektórzy autorzy sugerują w przypadku małej próby użycie odpowiednich wzorów, pozwalających na przeliczenie uzyskanej wartości kwadratu współczynnika korelacji wielokrotnej. Przytoczymy tu jedynie podstawowy z nich. a mianowicie przeliczona wartość współczynnika korelacji wielokrotnej, oznaczana jako R ², wynosi:

R²

n-3

n- p- 1

(1 -r²) +

+ 1

Przykład 3.

W poprzednim przykładzie testowaliśmy istotność cząstkowych współczynników regresji. Obecnie zajmiemy się testem istotności współczynnika korelacji wielokrotnej. Rc-sztowa suma kwadratów wynosi S_e - 1333,11, natomiast łączną suma kwadratów jest równa S_yy = 4395,48. Otrzymujemy zatem (zgodnie z wzorami (12.16) i (12.17)):

R ² = 0,6967, R = 0,837

Testujemy hipotezę H₀ : R = 0 równoważna hipotezie (12.18). Wyliczona zgodnie ze wzorem (12.19) statystyka testowa F ma wartość F = 9,188. Ponieważ wartością krytyczna dla v, = 3 i v₂ = 12 stopni swobody oraz dla poziomu istotności 5% jest    ⁼ 3,490,

zatem

^F > ^0.05:2:12

i hipotezę zerowa odrzucamy. Oznacza to jednocześnie odrzucenie hipotezy H₀ : Pi = Pz = P3 = 0. Wynik ten nie jest sprzeczny z rezultatami poprzedniego przykładu. Wykazaliśmy bowiem teraz, że nie można przyjąć, iż wszystkie trzy współczynniki P sa jednocześnie równe zeru — nie przesadza to jednak o nieistotności niektórych z nich.

12.5 Analiza wariancji w regresji

Hipotezy formułowane w poprzednich punktach dotyczyły cząstkowych współczynników regresji oraz współczynnika korelacji wielokrotnej, jednak ich weryfikacja odbywała

264