IMG71

188 Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki

Energia pola elektrycznego E_t zgromadzona w kondensatorze zależy od zgro-| madzonego w nim ładunku:

E_c

(24.2)

Wraz z rozładowaniem kondensatora energia ta maleje, wzrasta natomiast energia pola magnetycznego E_L gromadzona w cewce o indukcyjności L:

Et

(24.3)

W rezultacie pole elektryczne maleje, pole magnetyczne wzrasta, a energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora zamienia się na energię pola magnetycznego cewki. W procesie tym przez opornik R przepływa prąd /(/), wydzielając na nim ciepło jouleia. Następuje więc zamiana części energii na ciepło w ilości:

Ej

R-i-

2

(24.4)

jeden pełny cykl zaczynający się np. od chwili podłączenia do obwodu RLC naładowanego kondensatora zawiera rozładowanie kondensatora, naładowanie ładunkiem o przeciwnym znaku, ponowne rozładowanie i naładowanie do pierwotnego stanu, jeśli R * 0, nastąpi strata energii cieplnej i układ nic wróci do pierwotnego stanu. Cykl zamknie się w momencie uzyskania maksymalnej wartości ładunku na kondensatorze, ale mniejszej od początkowej. Dla R = 0 układ jest bezstratny i istnieje pełna analogia opisu zjawiska do drgań swobodnych wahadła matematycznego.

Aby opisać zmiany prądu i(t) w obwodzie RLC, zostanie zastosowane II prawo KirchhofTa. które mówi, że suma spadków napięć w oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru.

Z prawa Ohma wiemy, że spadek napięcia na oporniku R jest równy:

{/,.(/) ■=((/) R    (24.5):;

Napięcie na kondensatorze wyraża się zależnością:

imm    liii

ii JpS o

Zgodnie z prawem Faradaya w cewce pod wpływem zmiennego w czasie prądu i(t) indukuje się siła elektromotoryczna U_L:

Dla obwodu z rysunku 24.1a, korzystając z 11 prawa Kirchhoffa U_L(t) = t/_R(t) + U^t), otrzymuje się:

-t£'^=i(,).R₊-Lj/(,)._£/,    (24.8)

dt    C\

Po uwzględnieniu zależności (24.1) równanie (24.8) przyjmie postać:

(24.9)

di¹    rfr C*

Wprowadzając oznaczenia:

współczynnik tłumienia: (I = —

Mli'.

częstotliwość drgań swobodnych zwana częstością własną: a»„ = J— uzyskuje się równanie różniczkowe analogiczne do równania drgań tłumionych:

(24.10)

lisa

Wielkością zmieniającą się w czasie jest ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora. Rozwiązanie powyższego równania pokazuje charakter tych zmian:

9(0—%d’^f‘ cos(cu/+<p)    (24.11)

gdzie: w = jjfol — P¹ - częstość (pulsacja) drgań tłumionych.

Wskutek działania tłumienia amplituda drgań maleje ekspotencjalnie z upływem czasu, zaś częstość drgań tłumionych jest mniejsza niż częstość drgań własnych. Wielkością opisującą szybkość zmian amplitudy drgań tłumionych jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia - A, definiowany jako logarytm naturalny stosunku amplitud w chwilach czasu I oraz t+T (T-okres drgań tłumionych):

ini^H ^mi)

9ó“

Zależności (24.11) i (24.12) mają sens, jeśli /ł < u. W przeciwnym razie ruch nie jest ruchem drgającym, lecz pełzającym (aperiodycznym). Podczas ruchu aperiodycznego, układ nie wykonuje drgań, lecz po wychyleniu asymptotycznie zbliża się do położenia równowagi. Szczególnym przypadkiem jest ruch pełzający krytyczny, gdy %=ui.