IMG72

190    _ Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki

Drgania wymuszone

Aby mimo tłumienia utrzymać w układzie drgania harmoniczne niegasnące, należy wprowadzić odpowiednio zmienne wymuszenie w postaci harmonicznie zmiennego w czasie źródła napięcia (rys. 24.1 b):

(24.13)

<K/) = Ł/₀cosQ'/

gdzie O - jest częstością wymuszenia.

Z II prawa Kirchhoffa otrzymuje się wówczas

(24.14)

+ R-j-+-^q = f/„ cos fil-/ at dl C

po przekształceniu:

dl¹ L dl LC *

~j~^cos &'l

(24.15)

jest to równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Rozwiązaniem są drgania harmoniczne o częstości równej częstości siły wymuszającej (2 . Drgania wymuszone są przesunięte w fazie względem wymuszenia o kąt i/> będący fazą początkową drgania wymuszonego. Amplituda tych drgań jest ściśle określona i zależna od częstości wymuszenia oraz od amplitudy wymuszenia. Zatem rozwiązanie równania (24.15) jest w postaci:

qil) = A cos(£2 • I +ip)    (24.16)

gdzie:

A =

(24.17)

if> = arctgi —

2pa

(ol-&

(24.18)

Aby przekonać się, że funkcja przedstawiona w (24.16) jest rozwiązaniem równania (24.15), należy obliczyć jej pierwszą i drugą pochodną i wstawić do równania (24.15), aby sprawdzić otrzymanie tożsamości.

Rezonans

|ak wynika z analizy amplitudy drgań wymuszonych (zależność (24.17)), przy odpowiednim dobraniu częstości wymuszenia nawet przy niewielkiej amplitudzie siły wymuszającej można uzyskać bardzo dużą wartość amplitudy drgań wymuszonych. Takie zjawisko nazywamy rezonansem. Na rysunku 24.2 przedstawiono zależność amplitudy A od częstości wymuszenia fi dla różnych wartości współczynnika tłumienia, przy czym fi, <fi₂< fi, (rys. 24.2).

Rys. 24.2. Amplituda drgań wymuszonych w funkcji częstóid

Wartość częstości wymuszenia, dla której amplituda drgań wymuszonych osiąga maksimum (zaznaczona na wykresie linią przerywaną), silnie zależy od wartości współczynnika tłumienia /} i wyraża się następującym wyrażeniem:

(24.19)

Im mniejsze /?, tym ostrzejsza jest krzywa rezonansowa, a częstość rezonansu wzrasta.

Wykorzystując zależności (24.16)-(24.18) oraz (24.6), (24.7) i (24.1), można otrzymać wyrażenia na wartości napięcia l/_c oraz U_L, odpowiadające spadkom napięcia na kondensatorze C i cewce indukcyjnej L. Przeprowadzając ćwiczenie, dokonuje się pomiaru wartości napięcia U_c. Przyjmując, że układ rezonansowy ma małe straty (tzn. 4/?¹ < < 1), dla częstości bliskich rezonansu U_c jest postaci:

tfc-

U.

(24.20)

gdzie:

- względne odchylenie częstotliwości wymuszającej/

Q = 2u - f_r - częstość rezonansu dla danego p S-fl, f-L

S2.

fr

od częstotliwości rezonansowej f_r Dla Q = Q, wartość x = 0, zatem:

Uę

U,

a)RC ^Q

(24.21)

Q (dobroć układu) jest jednym z parametrów charakteryzujących obwód rezonansowy. Dla obwodu szeregowego wartość dobroci układu jest równa stosunkowi amplitudy napięcia na elementach C oraz L w rezonansie do amplitudy siły wy mu ■