Mechanika ogolna0026

52

Wielkości te są zawsze dodatnie. W pewien sposób podają informację o rozmieszczeniu masy w układzie odniesienia. Można również określić masowy moment bezwładności względem bieguna, czyli:

i=l

(108)

Moment bezwładności względem dowolnej osi lub bieguna możemy przedstawić w sposób umowny jako iloczyn masy całkowitej ciała i kwadratu pewnej odległości. Odległości te noszą nazwę promienia bezwładności ciała mierzonego względem danej osi lub bieguna. Wówczas masowe momenty bezwładności względem osi lub bieguna zapisujemy w postaci:

I* ^=m,ix

(109)

stąd:

(110)

Zależności (110) to tzw. promienie (ramiona) bezwładności, określające pewne odległości od osi lub bieguna całkowitej masy układu m.

('zęsto postępuje się w sposób odwrotny do opisanego, a mianowicie: poszukuje się masy, którą by trzeba skupić w pewnej odległości r od osi lub bieguna, aby olrzymać taki sam masowy moment bezwładności jak moment bezwładności badanego ciała. Masę taką nazywamy masą zredukowaną m_zr ciała materialnego na daną odległość od osi lub bieguna. Tak np. masę zredukowaną na odległość r od osi x ciała materialnego, którego moment bezwładności względem osi x wynosi I_x, określono za pomocą równania:

Przykład 8

Mlueślimy masowy moment bezwładności jednorodnego cienkiego pręta względem osi symetrii z. Masa pręta wynosi m, a jego długość 1. Wymiary poprzeczne |ni;ln są bardzo małe w stosunku do jego długości, tak że możemy je pominąć.

Z 1 S	k X c	X X

Rys. 26    1/2    1/2

Wycinamy (w myślach) w odległości x od osi z element długości dx, co pokazami na rys. 26. Masa elementu długości dx wynosi dm = dx-p, gdzie p jest masą

właściwą pręta, czyli p = -y, zatem dm = ™dx .

Wńwczas masowy moment bezwładności pręta wynosi:

n    1/2    1/2    ,2

f ^dmi‘^x.²⁼ J px²-dx = y J x² ‘dx ⁼

1=1    (m)    -1/2    ¹ -1/2    tZ

W tablicy 1 podano zależności określające masowe momenty bezwładności Względem odpowiednich osi wybranych ciał materialnych.

I alilli a I.