P3300289

Po wyborze takiego 8 definiujemy wielkość p =^f 5c(5).

Jeśli zaczynamy iteracje od x₀ takiego, że |x₀ - r\ < 8, to |eo| ^ 8 i l$o - r\ < 8 (bo Ęo leży pomiędzy x₀ i r). Zatem

^ ^c(⁶)    ¹ st£l^d

\*1 ~ r\ = 1^11 < efic(8) = \eo\\e₀\c(8) <    == |e₀|p < NI < S.

Czyli Xi e 0(r,8). Korzystając wielokrotnie z tej własności (formalnie trzeba użyć indukcji matematycznej) otrzymamy

N)</?NI> \eż\ < p\ei\ < f\eo |, NI < pNI < ^NI.— .Nł < pⁿNI*

Ponieważ p < 1, to je_nj 0. Mamy zatem

Niech r będzie zerem pojedynczym funkcji f i niech jej druga pochodna ff będzie ciągła w odpowiednim przedziale. Wtedy istnieje takie otoczenie punktu r i taka stała C, że jeśli metoda Newtona startuje z tego otoczenia, to kolejne punkty są coraz bliżej r i takie, że

\x_n+1    - r\< I    C(x_n- I (n > 0).

©ZbigniewBartoszewski (PolitechnikaGdańska)_ METODY!NUMERYCZNE 56/88